Комплекс сандар
| Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі
Алматы облысы Талдықорған қаласы «Дарынды балаларға арналған үш тілде оқытатын М.Арын атындағы №24 «Экономика және бизнес» арнаулы лицейі» КММ |
| Тақырыбы: «Комплекс сандар» |
| Секциясы: Математика
Жетпісбаева Әсем |
І. КОМПЛЕКС САНДАР ТУРАЛЫ ҰҒЫМ… … … … … … … … … … … … … ….5
ІІ. КОМПЛЕКС САНДАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АРИФМЕТИКАЛЫҚ АМАЛДАР………………………………………………………………………..6
ІІІ. КОМПЛЕКС САНДАРДЫҢ АЛГЕБРАЛЫҚ ФОРМАСЫ … … … … … …..8
IV.ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ КОМПЛЕКС ТҮБІРЛЕРІН ТАБУ……………………………..11
Қорытынды … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ………16
Кіріспе
Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңында: «Білім беру жүйесінің басты міндеті – ұлттық және жалпы адамзаттық құндылықтар, ғылым мен практика жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыруға және кәсіби шыңдауға бағытталған сапалы білім алу үшін қажетті жағдайлар жасау, оқытудың жаңа технологияларын енгізу, білім беруді ақпараттандыру, халықаралық ғаламдық коммуникациялық желілерге шығу», – делінген [1].
Сан ұғымының даму тарихына қарағанда ежелгі герек математиктері тек қана натурал сандарды шын мағанасындағы сан деп қарастырған. Алайда, тәжірибелік есеп – қисап жұмыстарында б.э.д. екі мыңыншы жылдар ежелгі Мысыр мен Вавилонда бөлшек терде қолданылған. Теріс санды б.э.д. екі ғасыр бұрын Қытай мемлекеттері енгізген. Сондай – ақ б.э.д. III ғасырда Ежелгі Грек математигі Диофант теріс сандарға амалдар қолдануды іс жүзінде пайдаланған.
Алгебраның дамуына байланысты бұрыннан белгілі он және теріс сандармен қатар жаңа сандар енгізу қажеттілігі туындалады. Осыған байланысты «Жорамал бірлік», «Жорамал сан» ұғымдары қалыптасты, бірақ қазір комплекс сандар тек қана математикада, аэродинамикада, физикада кеңінен қолданылады.
«Комплекс сандар» термині 19 ғасырда К.Гаусстың арқасында пайда болды. Латын тілінен аударғанда complexus байланыс, комбинация деген мағына береді. Одан ерте «жорамал сан» деген термин 17 ғасырда француз математигі мен философы Р.Декарт ұсынған болатын. Ал 18 ғасырда -1 санын белгілеу үшін Л.Эйлер imaginaire француз сөзінің бірінші әріпін қолдануды ұсынды.
Зерттеу жұмысының мақсаты: Комплекс сандарына түрлі амалдарды қолдану, комплекс сан ұғымын тереңінен талдау; кез келген нақты сандарға ғана емес, жорамал түбірлерінде табуға болатынын дәлелдеу.
Зерттеу болжамы: Егер орта мектеп математика курсында комплекс сандардың тиімді әдістемесін жасап, оны оқу үдерісінде қолданса, оқушылардың білім сапасы артады, математикалық ой-өрісі дамиды.
Өзектілігі: Бүгінгі таңда жалпы мектеп бағдарламасында қарастырылмайтын комплекс сан ұғымын зерттеу. Орта мектеп математика курсында комплекс сандарды оқыту әдістемесін жетілдірудің қажеттілігі.
Қолданылған әдістер: индукция, (жалпыдан жекеге өту) салыстыру, жинақтау
Ғылыми жұмыстың ақпараттық базасы:
Ғылыми жобаны жазу үшін зерттеу жұмысына қажетті мәліметтер мен материалдарды ғаламтордан, ғылыми әдебиеттерден ізделді, толықтырылды.
І. Арифметикалық төрт амалдардың орындалуына байланысты натурал сандар жиыны бүтін және рационал сандар жиынына дейін кемітеді. Сол сияқты түбір табу амалын орындалуына байланысты иррационал сандар жиыны пайда болады. Осы айтылған амалдардың бәрі нақты сандар жиынында орындалады. Бірақ бұл жиындарда орындалмайтын амал бар. Ол теріс сандардан түбір табу амалы. Сондықтан бұл жиынды әрі қарай кеңейту қажеттілігі туып отыр. Жаңа пайда болған сан ол нақты саннан өзгеше. Біз білеміз нақты сандар координата түзуінде нүктелер арқылы геометриялық бейнелейтіндігін яғни, координата түзуіндегі әрбір нүктелер бір нақты санға сәйкес келсе, керісінше әрбір нақты санға координата түзуінен бір нүкте табылады. Олай болса жаңа пайда болған сан геометриялық бейнесі түзуде емес, жазықтықта қарастыру қажет.
Комплекс сан деп кез келген реттелген нақты қос сан (а;в)-ны айтамыз. Екі комплекс сан (а;в) және (с;d) тең деп аталады. Егер а=c, в=d.
Нақты сандар жиынында түбірі болмайтын квадрат теңдеуді шешуден бастаймыз, яғни х2+1=0 теңдеуін бір амалын тауып шешуіміз қажет. Демек, квадраты -1 -ге тең жаңа бір сан ұғымын енгізуіміз керек. Ол сан i арқылы белгіленеді, және оны ЖОРАМАЛ БІРЛІК САН деп атайды. Сонымен, х2+1=0, х2= -1 теңдеуінің х1=i, x2= -ітүбірлері табылады деп есептейтін боламыз. Бұдан былай деп қарастырып, бұған жаңа ұғым береміз:
Анықтама 1. Жорамал бірлік деп санын айтады.
Анықтама бойынша, , онда:
Анықтама 2. түріндегі санды комплекс сан деп атаймыз. Мұндағы – нақты сандар, – жорамал бірлік.
комплекс санның нақты бөлігі, – комплекс санның жорамал бөлігі, – жорамал бөліктің коэффициенті.
Анықтама 3. Екі комплекс сан түйіндес деп аталады. Егер, олар тек жорамал бөліктерінің таңбаларымен ғана ерекшеленсе,
санына түйіндес сан i.
Түйіндес сандардың көбейтіндісі нақты бөлік пен жорамал бөліктің квадраттарының қосындысына тең.
ІІ. Комплекс сан Z=(a;b) және W=(c;d) қосындысы деп (a+c; b+d).
Мысалы: Z=(9;10) және W=(8;12) (9;10)+(8;12)=(17;22).
Комплекс z=(a;b) санына қарама-қарсы сан деп -z=(-a;-b). Комплекс Z және W сандарының айырмасы деп U санын айтамыз және Z=W+U, яғни Z дегеніміз z=(a;b) қос санынан тұратын болса, W=(c;d), U=(x;y) x=a-c, y=b-d.
Мысалы: Z=(9;10) және W=(8;12) (9;10)-(8;12)=(1;-2).
Комплекс сандардың көбейтіндісі Z=(a;b) және W=(c;d), Z W=(ас-bd; ad+bc) Мысалы: Z=(2;5) және W=(3;1), онда Z W=(2 3-5 1; 2 1+5 3)=(1;17).
Комплекс сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың қасиеттері нақты сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың қасиеттеріндей орындалады.
Z=(a;b), W=(c;d) (0;0)онда қандай да бір U=(x;y) комплекс саны болады. Z=U W. U комплекс саны берілген 2 санның бөліндісі деп аталады және [5].
x= ; y= , U=(x;y)=( ; )
Мысалы: =( ; )=( ; )
Есеп: =9;-7
=-1;1
+ =(9-7);(-1+1)=(9-1);(-7+1)=(10;-6)
– =(-9;(-7))-(-1;-1)=(-9+1);(-7+1)=(-8;-6).
=(9;-7) және =(-1;1), онда =(9 (-1)) ); (9 1+ )=(-2;16).
= = ; =( ; )= ( ; )
Екі комплекс санның қосындысын, айырмасын, көбейтіндісін және бөліндісін табыңыз.
1-есеп.
2-есеп.
3-есеп.
4-есеп.
5-есеп.
6-есеп.
7-есеп.
8-есеп.
9-есеп.
10-есеп.
ІІІ.
Комплекс сан дегеніміз – екі реттелген нақты сандардың қосындысын айтамыз. Комплекс санының алгебралық формуласы: Z=a+bi ді айтамыз.
Мұндағы a мен b нақты сандар, i – жорамал бірліктің квадраты, яғни і^2=-1.
a–Комплекс санының нақты бөлігі, bi- жорамал бөлігі.
Егер a=0 болса, z=bi болады, яғни нақты сан шығады.
Z=a+bi және Z=a-bi түйіндес комплекс сандар.
Комплекс сандарды қосу және бөлу, көбейту анықтамаларына сүйене төмен-дегі тепе-теңдік жазуға болады.
1.(0;1) (0;1)=(0 0-1 1;0 1+1 0)=(-1;0)
2.(a;b)=(a;0)+(b;0) (0;1)=(a;0)+(b 0-0 1;b 1+0 0)=(a;0)+(0;b)=(a;b)
3.(a;0)+(b;0)=(a+b;0)
4.(a;b)(b;0)=(a b-0 0;a 0+b 0)=(ab;0) олай болса, (a;0)=a, ал (0;1)=i-белгілейміз және оны жорамал бірлік деп атаймыз.
Сонда 1-ші тепе-теңдік i i=-1
2-ші тепе-теңдік (a;b)=a+bi
(a;b) комплекс санын 2-ші түрде жазылуда комплекс санды алгебралық формасы деп аталады және мұндағы а-ны комплекс санның нақты бөлігі деп , ал bi-ді жорамал бөлігі деп атаймыз.
Мысалы: (2;-4) комплекс сан беріліп тұр.
(2;-4)=2-4i; (3;2)=3+2i, -7+ i=(-7; )
Комплекс санның a+bi жорамал бөлігі 0-ден өзгеше болса, мұндай санды жорамал сан дейді. Ал а=0 болып кетіп bi қалса, ол таза жорамал сан деп аталады.
Комплекс сандардың алгебралық формасы оларға қолданылатын арифметикалық амалдарды жеңілдетеді.
- қосу (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
- алу(a;b)-(c;d)=(a-c;b-d) олай болса (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
- көбейту (a;b) (c;d)=(ac-bd; ad+bc);
(a+bi) (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)=ac+adi+cbi+bd =(ac-bd)+(ad+bc)i
- бөлу (c;d) (0;0) =( ; ); = = = = +
мысал-1. жауабы:
мысал-2. жауабы: .
мысал-3.
=-9-7i =-1+i
+ =(-9-7i);(-1+i)=(-9-1);(-7i+i)=(-10;-6i)
– =(-9-(-7));(-1-i)=(-9+7i);(-1-i)=(-9+1);(-7i-i)=(-8;-6i)
=(-9-7i) -1+i)=9-9i+7i-7 =9-2i-7 =9-2i+7=16-2i=(16;-2i)
= = = = = = = = = =8i+1=1+8i=(1;8i)
Комплекс сандарға амалдар орындауда алгебралық форма түріне келтіріңдер.
1-есеп. 7-есеп.
2-есеп. 8-есеп.
3-есеп. 9-есеп.
4-есеп. 10-есеп.
5-есеп. 11-есеп.
6-есеп. 12-есеп.
IV.
a 0, түбір астында а =a =-a
= , = =
-a=-a
Осы жағдайға байланысты кез-келген нақты сандарға ғана емес, жорамал түбірлерінде табуға болады.
Мысал 1. квадрат теңдеуін шеш.
ж: .
1-ші мысалдан байқайтынымыз, квадрат теңдеудің әрқашанда екі түбірі болады: нақты немесе комплекс. Егер оның түбірі комплекс сан болса, оның екінші түбірі осы комплекс санның түйіндесі болады.
Анықтама. және сандары түйіндес деп аталады және .
Мысалы-2. а) -4x+13=0 ә) =8
=4-13=-9 -8=0
= =3i – =0
=2-3i (x-2)( -2x+4)=0
=2+3i І.x-2=0 ІІ. -2x+4=0
x=2 =1-4=-3
= = = i
1- i 1+ i
б) 27
-27=0
– =0
(x-3)( -3x+9)=0 ІІ. -3x+9=0
І.x-3=0 D=9-36=-27
x=3 = = = = i
= ;
Яғни теңдеулердің комплекс түбірлерін таптық.
Теорема 1. Егер нақты коэффициентті көпмүшеліктің саны түбірі болса, онда саны да осы көпмүшеліктің түбірі болады.
Мысал 1. 2+3i квадрат теңдеу құру.
Теорема бойынша екінші түбірі 2-3і болады.
Виет теоремасы бойынша:
Жауабы: -4x+13=0
2-тәсіл: 7-3i квадрат теңдеу құру.
Теорема бойынша екінші түбірі 7+3і болады.
Жауабы: –14x+58=0
Қосымша есептер: Түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрыңдар:
1-есеп. 9-есеп.
2-есеп. 10-есеп.
3-есеп. 11-есеп.
4-есеп. 12-есеп.
5-есеп. 13-есеп.
6-есеп. 14-есеп.
7-есеп. 15-есеп.
8-есеп. 16-есеп.
Мен үй жұмысын орындап жатқан кезде 8-сынып алгебра оқулығындағы 69-шы беттегі төмендегі теңдеулерді шешіңдер деген №8.2-нің 4-ші есебінде дискриминант бойынша шықпай қалды, сондықтан оны Виет теоремасына салып көрдім.
x+5=0
Виет теоремасы бойынша тапсақ, түбірлерінің қосындысы және көбейтіндісі нақты сандар шығады.
Яғни Виет теоремасында орындалып тұр.
Дискриминант бойынша есептесек теріс сан шығады да, жауабы болмай қалады.
Егер оны комплекс сандарға сүйеніп шығарсақ, онда
Енді оны Виет теоремасы бойынша тексереміз:
-4x+5=0
Теңдік орындалды.
Теңдеудің комплекс түбірлеріне қосымша есептер:
1-есеп. +1=0 11-есеп. +3x+4=0
2-есеп. +2=0 12-есеп. -2x+3=0
3-есеп. +3=0 13-есеп. -5x+7=0
4-есеп. +4=0 14-есеп. +x+2=0
5-есеп. +5=0 15-есеп. +3x+3=0
6-есеп. +6=0 16-есеп. +x+3=0
7-есеп. +7=0 17-есеп. +4x+5=0
8-есеп. +8=0 18-есеп. -2x+2=0
9-есеп. +9=0 19-есеп. -x+1=0
10-есеп. +1=0 20-есеп. +2x+1=0
Қорыта айтқанда алгебралық түрде жазылған комплекс сандарға арифметикалық амалдарды орындау 2 мүшеліктерге қолдануда арифметикалық амалдар орындалады. Тек i2=-1 мен алмастырып отыру керек. Сонымен қатар бөлшек комплекс санды түрлендіру үшін c-di, яғни c+di түйіндесіне көбейтуіміз керек.
Комплекс сандар мектеп бағдарламасында қарастырылмайтын алайда көптеген есептерді шығару барысында көмегі зор теоремалардың ішінде коэффициентті көпмүшелік туралы теоремасы да бар, және де шешімі жоқ теңдеулердің Виет теоремасында қалай орындалатынын практика жүзінде көрсеттім. Қосымша есептердің барлығын дәптерге шығарып жүрдім.
Кейінгі жүз жыл ішінде комплекс сандар және комплекс аргументті функциялар теориясы одан әрі дамып, бұл теория картографияда, электр және электротехникада, гидромеханикада, аэромеханикада, сандар теориясында, және басқа да көптеген жаратылыстану мен техника саласында қолданылады. Сондықтан зерттеу жұмысының нәтижелерін тексеру барысында орта мектеп математика курсында комплекс сандар оқыту әдістерін жетілдіріп және оның тиімді әдістемесін жасап, оқу процесінде қолданса, оқушылардың білім сапасының артатындығына, математикалық ой-өрісінің дамитындығына көз жеткіздік, оқушылар бұл тақырыпты қызығушылықпен меңгеріп алды, яғни зерттеу болжамы дәлелденді.