Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің тиімді тәсілдері, ғылыми жоба

Жоспары

1.Кіріспе бөлім

2.Негізгі бөлім

2.1 Көпмүшеліктерді жіктеу әдістері.

2.2  Горнер схемасын пайдаланып жіктеу.

2.3  Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде көпмүшеліктерді жіктеу әдістерін қолдану.

3. Қорытынды бөлім

Зерттеу жұмысының өзектілігі: Математика курсын оқытуда ғылым мен техниканың дамуына байланысты, мектептегі оқу пәндерінің мазмұнына өзгерістер енуі, оқушылардың білім сапасын арттыру бүгінгі күннің талабы. Сондықтан оқу процесінде көпмүшені көбейткіштерге жіктеу, көпмүшенің түбірі, жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде оқушыларға қиындықтар туғызатыны мәлім. Сонымен қатар жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шешуде   көпмүшені жіктеу әдістерін қолданудың да маңызы зор.
Зерттеу жұмысының мақсаты: Математиканы оқыту барысында оқушыларды көпмүше ұғымымен таныстыру, бір айнымалы көпмүшелерді жіктеу тәсілдерін толық зерттеу, оқушылардың ойлау қабілетттерін арттыру, пәнге қызығушылығын дамыту арқылы көпмүшелерді қолданып есептерді шешудің жолдарын үйрету.

Зерттеу жұмысының міндеттері: Алгебра және сандар теориясының негізгі ұғымдарын, формулаларын,қолданатын жерін; көпмүшелерге амалдар қолдануын; Безу теоремасын; көпмүшелерді қалдықпен бөлу алгоритмін; Горнер схемасын; көпмүше түрлерін; көпмүшелерді қолдану арқылы есептерді шешудің жолдарын білуі керек.

Зерттеу жұмысының ғылыми жаңашылдығы: Математика курсын оқытуда жалпыға бірдей жоғары білім беру жағдайларында оқу процесінде көпмүшелер теориясы туралы толық түсінік алу арқылы жеке тұлғаның дағдысын қалыптастыру.
Күтілетін нәтиже: Осы жобада анықталған зерттеулер мен есептер математикадан қосымша сабақтарда кеңінен қолданылса,   жоғарғы математика курсын оқытуда оқушылардың білім, білік қабілетін дамытуда көпмүшелер теориясында алған теориялық білімдерін практикада жүзеге асыруға септігін тигізеді.Қазіргі уақытта бұл материал жоғарғы оқу орнына түсуші талапкерлердің өздігінен дайындалуына, оқушылардың білігі мен дағдысын қалыптастыруына және жаратылыстану бағыты бойынша  оқушылардың білім сапасын көтеруіне мүмкіндік береді.
                   Кіріспе.

Адам қоғамы дамуының қазіргі кезеңі- ғылыми техникалық революция дәуірі ғылыми білімнің қауырт өсуімен техникалық идеялардың тез алмасуымен , практикалық іс-әрекеттің көптеген түрінің практикаландырылуымен сипатталады. Ғылыми –техникалық білім соншалықты тез дамып барады, ол жыл сайын бірнеше есе артып отырады. Қоғам өмірінің барлық салаларында қазіргі ғылым мен техниканың жаңалықтары ақпараттық технологияларды қолдануға байланысты математика мен математикалық ойлаудың  жоғарғы дәрежедегі қажеттігі туындап отыр. Осы кезеңдегі ғылыми –техникалық прогресс математикалық біліктерге жаңа талаптар қойып отыр. Елбасымыз өз халқына Жолдауында «Әлемдік білім кеңістігіне толығымен кіру білім беру жүйесін халықаралық деңгейге көтеруді талап ететіні сөзсіз» деп көрсеткен.

Математика – абстрактілі ғылым.Сондықтан оқудың алғашқы күндерінен бастап-ақ сабақтас пәндермен байланыстыруды   қажет етеді.Мектептің басқа оқу пәндерінен алған білімдеріне сүйене отырып,оқушылар өтілетін материалды сапалы түрде меңгереді.Математика курсының әрбір тақырыбы айнала қоршаған ортаны танудағы математиканың рөлін дұрыс түсінуге және алған білімдерін практикалық есептерді шешуде қолдана білуге әсері тиетіндей пәнаралық байланыстарды іске асырып отыруы қажет.
Математика сабағында пәнаралық есептерді шешу арқылы оқушылар жаңа жағдайлармен танысады, математикалық теорияларды, есептердің шешімін табуға қолдануды үйренеді, есеп шешуге қатысты жаңа әдістерді  оқып үйренеді.Басқаша айтқанда, есептерді шешу арқылы математикалық білімі мен білігін дамытады. Күнделікті өмірге қатысты практикалық есептерді шешу барысында оқушы математикалық білімін қолдануды үйренеді.Меңгерілген математикалық білім, білік, дағдылары олардың өндірісте өздігінен білім жетілдіруіне негіз болады.

Көбейткіштерге жіктеу– көпмүшеліктерді бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісіне теңбе-тең етіп түрлендіру. Көбейткіштерге жіктеу өрнекті жинақы түрге келтіреді. Көбейткіштерге жіктеудің негізгі тәсілдері:

1. Ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығару, мысалы,                                               2a³b–3ab² =ab(2a²–3b),
2. Қысқаша көбейту және бөлу формулаларын қолдану, мысалы,                                              4x²–4xy+y²==(2x–y)², 8a³–b³==(2a–b)(4a²+2ab+b²);
3. Қосылғыштарды топтастыру, мысалы,                                                                                     2ac–4ad+3bc–6bd==2a(c–2d)+3b(c–2d)==(2a+3b)(c–2d).
4. Қосылғыштарды бөлшектеу, мысалы, a²+3a+2=a²+2a+a+2=a(a+2)+(a+2)=(a+1)(a+2).

Бір айнымалы шамаға тәуелді нақты немесе комплекс коэффициенттері бар кез келген көпмүшелік бірінші дәрежелі көбейткіштерге (комплексті коэффициенттері де болуы мүмкін) жіктеледі. Көпмүшеліктің жіктелуі былай өрнектеледі:    a₀xn+a₁xn–1+…+a_n=a₀(x–a₁)(x–a₂)…(x–a_n), мұндағы a₁, a₂, …, a_n – көпмүшеліктің түбірлері.Бір айнымалылы көпмүшелік, полином деп аталады.  Егер үлкен коэффициенті бірге тең болса, көпмүшелік унитарлы немесе келтірілген деп аталады. Көпмүшелік екі нөл емес мүшесі болса, оны екімүшелік немесе бином дейді. Көпмүшелік үш нөл емес мүшесі болса, оны үшмүшелік деп атайды.

Көпмүшелік дәрежесі деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайды.Коэффициенттері нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын көпмүшелік игерушісі, ал оның дөңес қабығын – Ньютон көпжағы дейді. Көпмүшеліктер элементар функциялардың маңызды тобы болып табылады.

«Классикалық алгебраның» негізгі мақсаты осындай көпмүшеліктерді және олардың теңдеулерін шешу болып табылған. Осыған байланысты математикадағы негізгі  өзгерістер пайда болған: нөлді енгізу, теріс сан, ал сосын комплекс санның пайда болуы, т.б..n айнымалылы көпмүшелік (немесе полином) деп келесі түрдегі шекті қосындыны айтады

Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір коммутативті сақинасынан (көбінесе өрістен, мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады. Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер деп белгіленетін сақина (оның үстіне сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті сақинадағы алгебраны) құрайды.

Теңдеулерді шешкенде, түрліше есептеулерді орындағанда және басқа да есептерді шығарғанда көпмүшені оған теңбе-тең бірнеше көпмүшенің көбейтіндісі түріндегі (олардың ішінде бірмүше де болуы мүмкін) өрнекпен алмастырған ыңғайлы болатын жағдайлар кездеседі. Мысалдар қарастырайық.1) а=37, b=26, c=17 және d=23 болғанда, ab+ac-ad өрнегінің сан мәнін табу керек болсын. Әріптердің берілген мәндерін орындарына қойып есептесек:

ab+ac-ad=37^.26+37^.17-37^.23=962=962+629-851=1591-851=740.

Өрнекті алдын ала түрлендіріп алса, оның мәнін табу жеңілдейді, көбейтудің үлестірімділік заңы бойынша бұл өрнекті былай жазуға болады: ab+ac-ad=a(b+c-d).

Сонда берілген өрнекке теңбе-тең өрнектің мәнін есептеу жеңіл:                                 37^.(26+17-23)= 37^.20=740.

Бұл жағдайда есептеудің біраз жеңілдегенін байқау қиын емес.

2) a²-b² өрнегінің мәнін a=247,5 және b=147,5 болғанда есептегенде, әдетте төрт таңбалы сандарды квадрат дәрежеге шығарып, нәтижелерін бірінен бірін азайтамыз. Берілген өрнекті онымен теңбе-тең өрнекпен алмастырғаннан кейін есептеуді ауызша орындауға да болады.

         a²-b²=(a+b)(a-b)=247,5²=(247,5+147,5)(247,5-147,5)=395^.100=39500.

3) x²+7х=0 теңеуінің сол жағын бірмүше мен екімүшенің көбейтіндісі түрінде жазып алса, оңай шешуге болады: х(х+7)=0, бұдан х=0 немесе х+7=0, x= -7.

Көпмүшені екі немесе бірнеше көпмүшенің (олардың ішінде бірмүшелер де болуы мүмкін) көбейтіндісі түріне келтіруді көпмүшені көбейткіштерге жіктеу деп атайды.

Алгебралық өрнектерді көбейткіштерге жіктеу көп жағдайда сандарды жай көбейткіштерге жіктеуге ұқсас. Сандарды жай көбейткіштерге жіктеуді бөлшекті қысқартқанда, бірнеше бөлшекті ортақ бөлімге келтіргенде қолданатынбыз. Алгебралық өрнектерді көбейткіштерге жіктегенде де сол мақсат көзделеді. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу тек бөлшектерге ғана қолданылып қоймайды, сонымен бірге ол алгебраның басқа тарауларын оқып үйренгенде де пайдаланылады.

Кез келген көпмүшені (дәрежесі екіден кем емес) өзінен дәрежесі төмен көпмүшелерге жіктеу мүмкін бола бермейді.  Мысалы, a²+b², a⁴+b⁴, a⁵+b³ сияқты көпмүшелер көбейткіштерге жіктелмейді. Ондай көпмүшелерді келтірілмейтін көпмүшелер деп атайды.

Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару тәсілі.

Бірмүшені көпмүшеге көбейту ережесі бойынша a(b+c–d)=ab+ac–ad. Енді теңбе-теңдіктің екі жағындағы өрнектердің орнын алмастырып жазайық: ab+ac–ad= a(b+c–d). Егер көпмүшенің барлық мүшелерінің ортақ көбейткіші бар болса, онда оны жақшаның сыртына шығаруға болады. Сонда жақшаның ішінде берілген көпмшенің әрбір мүшесін жақшаның сыртына шығаратын көбейткішке бөлгендегі бөлінді алынады. Мысалы,8a²x³ – 6ab⁵x⁴+  +12a⁵b⁷x² : (2ax²) = 4ax; – 6ab⁵x⁴ : (2ax²) = – 3b⁵x²,12a⁵b⁷x² : (2ax²) = 6a⁴b⁷. Олай болса, жақшаның ішінде 4ax – 3b⁵x² + 6a⁴b⁷ көпмүшесі қалады, яғни 8a²x³ – 6ab⁵x⁴ + 12a⁵b⁷x² = 2ax²(4ax – 3b⁵x² + 6a⁴b⁷). Жақша сыртына шығарылатын көбейткіш берілген көпмүшенің барлық мүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгіші болуы керек. Мысалы, – 15x²y³ – 30x³y² + 45x⁴y көпмүшесі мүшелерінің әр түрлі ортақ көбейткіштері бар. Олар: x,y,3xy,5x²,15x²y. Жіктеуді бірден толық орындау үшін жақшаның сыртына бірден 15x²y немесе – 15x²y-ті шығарған дұрыс, сонда жақшаның  ішіндегі көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткіші бар және 15x²y  –  ең үлкен ортақ бөлгіш болады.

– 15x²y³ – 30x³y² + 45x⁴y= –15x²y (y²+2xy – 3x²) немесе

– 15x²y³ – 30x³y² + 45x⁴y= 15x²y (–y²–2xy + 3x²).

Егер бірмүшелер коэффициенттерінің бәрі бүтін сандар болса, онда ортақ көбейткіштің коэффициенті ретінде бірмүшелер коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші алынады. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарғанда, айнымалының көпмүшенің барлық мүшелерінің құрамында бар ең кіші дәрежесі шығарылады. 6ax³+3x²–12bx көпмүшесінде мүшелердің ортақ көбейткіші 3x, себебі: 6ax³=3x^.2ax²; 3x²=3x^.x; 12bx=3x^.4b, сонда 6ax³+3x²–12bx = 3x(2ax²+x–4b). Көпмүшені ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару арқылы көбейткіштерге жіктеу – көпмүшені бірмүшеге көбейту амалына кері амал, мұндағы «амал» түсінігі әдеттегі математикалық амал түсінігінен кеңірек, өйткені өрнекті көпмүшеге түрлендіргенде және оған керісінше көпмүшені көбейткіштерге жіктегенде бірнеше математикалық амалдар орындалуы мүмкін. Сондықтан жіктеудің дұрыстығын тексеру үшін шыққан көбейтіндіні көпмүшеге түрлендіру керек. Келтірілген мысалда ортақ көбейткішті жақша сыртына шығардық: 6ax³+3x²–12bx = 3x(2ax²+x–4b), ал оған кері амал көбейтіндіні көпмүшеге түрлендіру орындалады: 3x(2ax²+x–4b) = 6ax³+3x²–12bx.

Көпмүшені ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару арқылы көбейткіштерге жіктеу үшін:

• ортақ көбейткішті анықтап алу керек;
• оған берілген көпмүшені бөлу керек;
• ортақ көбейткіш пен шыққан бөліндінің (бөліндіні жақшаның ішіне алып) көбейтіндісін жазу керек.

Кейде көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткіші де көпмүше болуы  мүмкін. Ол жағдайда ортақ көбейткіш бірмүше сияқты жақшаның сыртына шығарылады.

Мысалы, 5x³(a – b) – 4x²y(a – b)+3z(a – b) = (a – b) (5x³ – 4x²y + 3z), мұндағы (a – b) – ортақ көбейткіш.

Топтау тәсілі.

Көпшілік жағдайда көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткіші бола бермейді. Мұндай жағдайда көпмүшенің ортақ көбейткіштері бар қосылғыштарын бірыңғай топтастырады. Осылай топтастыру нәтижесінде ортақ көбейткіш табылады да, оны жақша сыртына шығарады. Сонда кейбір жағдайда жақшаның ішіндегі көпмүшені ортақ көбейткіш ретінде жақшаның сыртына шығаруға болады. Жіктеудің мұндай тәсілін топтау тәсілі деп атайды. Топтау тәсілін қолданғанда қосу мен көбейтудің заңдарына сүйенеді.

М ы с а л д а р қарастырайық:

• a(b+c)+b+c=a(b+c)+1(b+c)=(b+c) (a+1);
• a(b-c) – b+c= a(b-c)+ (-b+c)=a(b-c) – 1(b-c)=(b-c)(a-1);
• m(3x-y)+3ax – m(3x – y)+a(3x – y)=(3x – y) (m+a);

Көпмүшенің мүшелерін топтауды түрліше жүргізуге болады. Мысалы, 2am+2a – 3bm – 3bn көпмүшесінің мүшелерін екі түрлі тәсілмен топтауға болады:

2am+2a – 3bm – 3bn=(2am+2an)+(- 3bm – 3bn)=2a(m+n)– 3b(m+n)=(m+n)(2a – 3b)

Енді алты мүшесі бар мынадай көпмүшені қарастырайық:

ax+bx-ay-by+az+bz=(ax+bx)–(ay+by)+(az+bz)=x(a+b)-y(a+b)– y(a+b)+z(a+b)=(a+b)(x-y+z).

Мұнда әр топқа екі мүшеден алынды, оларды үш-үштен алып топтастыруға да болады:  ax+bx-ay-by+az+bz=(ax+bx)–(ay+by)+(az+bz)=(ax-ay+az)+(bx-by+bz)=   a(x-y+z)+b(x-y+z)=(x-y+z)(a+b).

Топтау тәсілімен көпмүшені көбейткіштерге жіктеу үшін:

• көпмүшенің ортақ көбейткіштері бар мүшелерін ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарғанда, жақша ішіндегілер ұқсас болатындай топтарға біріктіру керек;
• жақшаның ішіндегі ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару керек.

Көпмүшені топтау тәсілімен көбейткіштерге жіктеу   дегеніміз – көпмүшені көпмүшеге көбейтуге кері түрлендіру. Сондықтан нәтиженің дұрысығын  тексеру үшін шыққан көбейтіндіні көпмүшеге  түрлендіреді. Мысалы, a⁴+2a³-a-2=a³(a+2)-(a+2)=(a+2)(a³-1) жіктелуі дұрыс, өйткені (a+2)(a³-1)=a⁴+2a³–a-2.

Біз қарастырған мысалдардағы көпмүшелердің мүшелер саны жұп  еді, енді көпмүшенің мүшелер саны тақ болғанда қалай топтаймыз? Мысалы, x²+4x+3 көпмүшесін көбейткіштерге жіктеу керек болсын дейік. Егер берілген көпмүше келтірілетін көпмүше болса, онда ол бір көпмүшені екінші көпмүшеге көбейтуден алынған және де оның кейбір мүшелері  екі көпмүшенің көбейтіндісіндегі ұқсас мүшелерді біріктіруден алынған деп ұйғарып, өрнектің кейбір мүшелерін ұқсас қосылғыштарға жіктеп, содан кейін тоаптау тәсілін қолданамыз.

Мысалы, x²+4x+3=x²+(x+3x)+3=(x²+x)+(3x+3)=x^.(x+1)+3(x+1)=(x+1)^.(x+3).

            Қысқаша көбейту формулаларын қолдану

Қысқаша көбейту формулалары көпшілік жағдайда көпмүшені көбейткіштерге жіктеуге мүмкіндік береді. Сондықтан қысқаша көбейту формулаларын көпмүшені көбейткіштерге жіктеу формулалары деп атауға да болады.

Енді қысқаша көбейту формулаларын көпмүшені көбейткіштерге жіктеу формулалары түрінде жазайық:

1)a² – b²=(a+b)(a – b);

2) a² +2ab+b²=(a+b)²;

• a² – 2ab+b²=(a – b)²;
• a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³
• a³ – 3a²b + 3ab² – b³=(a – b)³
• a³+b³=(a+b)(a² – ab + b²)
• a³ – b³ =(a – b)( a² + ab + b²)

Егер үшмүше берілсе, оның мүшелерінің таңбалары бірдей ме, әлде ортаңғы мүшесінің таңбасы басқаларынан өзгеше ме, соны анықтап алып, соған қарай ол үшмүшені қандай да бір екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының квадраты ретінде қарастыру керек.

Егер төртмүше берілсе, онда оны көп жағдайда қандай да бір екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының кубы ретінде көрсетуге болады. Мысалы, m³+6m²n+12mn²+8n³=(m+2n)³ .

Көбейткіштерге жіктеудің әр түрлі тәсілдерін қолдану.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің бірнеше тәсілін: ортақ көбейткішті жақша сыртына шығаруды; топтау тәсілін; қысқаша көбейту формулаларын қолдануды қарастырайық. Кейде көпмүшені көбейткіштерге жіктегенде осы тәсілдердің бірнешеуін қолдануға тура келеді. Бірақ ол туралы жалпы ереже жоқ, ол берілген көпмүшенің құрамына қарай жасалады. Көпмүшені көбейткіштерге  жіктеуге бірнеше мысал келтірейік.

1) a³ – a =a(a² – 1)=a(a+1)(a – 1). Мұнда екі тәсілді бірінен соң бірін қолдандық. Олар: ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару және екі өрнектің квадраттарының айырмасының формуласы.

2) (a²+1)² – 4a²=(a²+1)² – (2a)²=(a²+1+2a)(a²+1 – 2a)=(a+1)²(a – 1)².

Мұнда қосылғыштардан ортақ көбейткіші болмағандықтан, алдымен екі өрнектің квадраттарының айырмасының формуласы, одан кейін екі өрнектің қосындысының квадраты мен айырмасының квадратының формулалары қолданылды.

3) a⁵+a³ – a² – 1 =(a⁵+a³)+( – a² – 1) =a³(a²+1) – 1(a²+1)=(a²+1)(a³ – 1)= (a²+1)(a – 1)(a²+a+1).

Көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткіші жоқ, сондықтан алдымен топтау тәсілін, одан кейін екі өрнектің кубтарының айырмасының формуласын қолдандық.

Қарастырылған мысалдарда көбейткіштерге жіктеуді мына тәртіпте жүргіздік: 1)егер ортақ көбейткіш бар болса, оны жақшаның сыртына шығару; 2)қысқаша көбейту формулаларын қолдану; 3)топтау тәсілдерін қолдану.

Күрделірек есептерді шығарғанда көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің өзіміз білетін   тәсілдерінен басқа да түрлендірулер жасауға тура келеді. Егер көпмүше келтірілетін көпмүше болса және оған біз білетін тәсілдерді тікелей қолдану нәтиже бермесе, онда оның кейбір мүшелерін ұқсас мүшелердің   қосындысына   жіктеу, қосындының немесе айырманың квадратын айыру және т.с.с.  әдістер қолданылады.

Бірнеше мысал келтірейік.

• a²+4ab+3b² көпмүшесін көбейткіштерге жіктеу керек болсын. Алдымен оның кейбір мүшелерін ұқсас мүшелердің қосындысына жіктеп алып, сонан соң топтау тәсілін қолданамыз.

Мысалы,a²+4ab+3b²=a²+(ab+3ab)+3b²=(a²+ab)+(3ab+3b²)=a(a+b)+3b(a+b)=(a+b) (a+3b).

Жалпы алғанда, бір айнымалыға қатысты квадрат үшмүше мына түрде жазылады: ax²+bx+c, мұндағы a,b,c – сандар (a≠0), x – айнымалы.

• x⁵+x+1 үшмүшесін  екі көпмүшенің көбейтіндісі түрінде жазу керек болсын. Берілген үшмүше екі көпмүшені көбейтуден шыққан, жақшаларды ашқаннан кейін оның кейбір қарама-қарсы мүшелері жойылып кететіндігін пайдаланамыз:

x⁵+x+1=x⁵+x+1+0=x⁵+x+1+(x²–x²)=(x⁵–x²)+(x²+x+1)=x²(x³–1)+(x²+x+1)=x2(x–1)(x²+x+1) +1(x²+x+1)=(x²+x+1)(x³ – x² +1).

• x³+3x² – 10x – 24 көпмүшесін екі көпмүшенің көбейтіндісі түрінде жазу керек болсын. Егер бұл 3-дәрежелі көпмүше келтірілетін көпмүше болса, онда ол қандай да бір x – a немесе x + a түріндегі екімүшеге бөлінуі тиіс, (-2)³ + 3 ^. 3² – 10 ^. 3 – 24 ≠ 0, (-4)³ + 3^.(-4)² – 10 ^. (-4) – 24=0. Демек, x+4-ке бөлінеді, сонымен x³+3x² – 10x – 24 = (x+2)(x+4)(x – 3). Көпмүше бөлінетін екімүшелер саны бірден артық болмаса, онда қалған көбейткіш көпмүшені табу үшін берілген көпмүшені белгілі екімүшеге  бұрыштап бөледі. Мысалы, x³+x²+x – 3=0 көпмүшесін  көбейткіштерге жіктеу керек болсын.  1³+1²+1 – 3=0 , болғандықтан, берілген көпмүше x-1 екімүшесіне бөлінеді, ал (-3)³ + (-3)² +    (-3) – 3≠0 және 3³+3² – 3 – 3≠0 болғандықтан,  екінші көбейткіш келтірілмейтін квадрат үшмүше, оны көпмүшені  x-1 екімүшесіне бөлу арқылы табамыз:

Сонда x³ + x² +x – 3 = (x – 1) (x²+2x+3).

Бір айнымалы шамаға тәуелді нақты немесе комплекс коэффициенттері бар кез келген көпмүшелік бірінші дәрежелі көбейткіштерге (комплексті коэффициенттері де болуы мүмкін) жіктеледі. Көпмүшеліктің жіктелуі былай өрнектеледі: a₀xn+a₁xn–1+…+a_n=a₀(x–a₁)(x–a₂)…(x–a_n), мұндағы a₁, a₂, …, a_n – көпмүшеліктің түбірлері.

     Көпмүшелікті жіктеудің тағы бір әдісі –Горнер схемасын пайдаланып жіктеу. Уильям Джордж Горнер (ағыл. William George Horner, 1786 — 22 сентября 1837) — британдық математигі, Горнер схемасының негізін қалаушысы. Сонымен қатар, зоотропты ойлап тапқан.
Негізгі зерттеу жұмыстары алгебралық теңдеулер болып табылады. 1819 жылы алгебраға қажетті көпмүшелікті екімүшеге х – а бөлуін жазған. (Горнер схемасы).
1786 жылы Ұлыбританиядағы Бристоль қаласында дүниеге келді. Бристоль қаласындағы Кингсвудті мектебінде білім алған . Ол 16 жасында Кингсвудті мектебінде мектеп директордың көмекшісі және 4 жылдан соң мектеп директоры болып жұмыс істеді.1809 жылы Бристоль қаласынан көшіп, Бат қаласында өз мектебін ашты. Горнер схемасы – көпмүшенің  x – c екімүшесіне бөлгенде шығатын толымсыз бөліндіні және қалдықты анықтауға арналған әдіс.  P_n(x) көпмүшелігі берілсін

P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_       {n-1}x+a_n

x-a екімүшесіне жіктейік. Ол үшін мынадай кестемен жұмыс істеуге тура келеді, яғни бірінші жолы берілген көпмүшеліктің коэфициенттерінен тұрады, ал екінші жолдың бірінші элементі х-а екімүшесінен алынған а саны болады .

n- ші дәрежелі көпмүшелікті х-а екімүшелігіне бөлгеннен   кейін бастапқы көпмүшеліктен дәрежесі 1-ге кем  көпмүшелік аламыз. Енді Горнер схемасын пайдалануға мысалдар қарастырайық.

1-мысал

Горнер схемасын пайдаланып  5x^4+5x^3+x^2-11  көпмүшелігін   x-1 екімүшесіне бөлу керек.

Шешуі:

Екі жолдан тұратын кесте құрамыз: бірінші жолына х айнымалысының кему дәрежесіне қарай 5x^4+5x^3+x^2-11 көпмүшелігінің коэфициенттерін, ал екінші жолына х-1 екімүшесіне бөлетін болғандықтан 1-ді жазамыз. Ескеретін жағдай х-тің дәрежесі 1- ге тең болғанда коэффициент 0-ге тең болады.

Екінші жолдағы бос ұяшықтарды толтырайық. Екінші жолдың екінші ұяшығына бірінші жолдағы сәйкес ұяшықтағы 5 санын көшіріп жазамыз:

Келесі ұяшықты мынадай принциппен толтырамыз:  1\cdot 5+5=10

Осындай принциппен екінші жолдың төртінші ұяшығын толтырамыз:                  1\cdot 10+1=11:

Бесінші ұяшық үшін:  1\cdot 11+0=11 :

Соңғы ұяшықты да осылай толтырып, мынаны аламыз:    1\cdot 11+(-11)=0:

Енді есептің жауабын жазайық:

Көріп отырғанымыздай екінші жолдағы 1 мен 0-дің арасында орналасқан сандар 5x^4+5x^3+x^2-11 көпмүшесін x-1 екімүшеге бөлгеннен кейінгі алынған көпмүшеліктің коэффициенттері.  Айтқанымыздай бастапқы 5x^4+5x^3+x^2-11көпмүшелігінің дәрежесі 4-ке тең болса ,алынған 5x^3+10x^2+11x+11 көпмүшелігінің дәрежесі одан 1-ге кем , яғни 3-ке тең.  Екінші жолдың соңғы ұяшығындағы ноль 5x^4+5x^3+x^2-11көпмүшесін x-1 екімүшесіне бөлгендегі қалдық.  Біздің мысалымызда қалдық нольге тең сондықтан көпмүшелік қалдықсыз бөлінді. Осыдан мынадай қорытындыға келеміз: x=1 болғанда 5x^4+5x^3+x^2-11 көпмүшелігінің мәні нольге тең немесе 1 саны берілген 5x^4+5x^3+x^2-11 көпмүшелігінің түбірі.

2-мысал

Горнер схемасын пайдаланып  x^4+3x^3+4x^2-5x-   көпмүшесін   x+3 екімүшесіне бөлу керек.

Шешуі:

x+3 өрнегін x-(-3) түріне келтіреміз. Горнер схемасын пайдаланғанда екінші жолдың бірінші ұяшығына -3-ті жазамыз және берілген көпмүшелік  төртінші дәрежелі болғандықтан алынатын көпмүшеліктің дәрежесі 3-ке тең болады.

Кестені пайдаланып мынадай теңдікті аламыз:

x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4

Бұл жағдайда x^4+3x^3+4x^2-5x-47 көпмүшесін x+3 екімүшесіне бөлгендегі қалдық 4-ке тең.  Осыдан  x=-3 болғандағы x^4+3x^3+4x^2-5x-47 көпмүшесінің мәні 4-ке тең. Бұған x=-3 мәнін көпмшеліктегі айнымалының орнына қойып көз жеткізуге болады, яғни  x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.

Айнымалының берілген мәнінде көпмүшеліктің  мәнін табу үшін де Горнер схемасын пайдалануға болады. Егер көпмүшеліктің бірнеше түбірін табу керек болса ,онда Горнер схемасын барлық түбірлері табылғанша қатарынан бірнеше рет қолданамыз.

3- мысал

Горнер схемасын пайдаланып x⁶+2x ⁵-21x ⁴-20x³+71x²+114x+45=0  теңдеуінің бүтін түбірлерін табу керек.

Шешуі:

Қарастырып отырған көпмүшеліктің жоғары дәрежелі айнымалының алдындағы коэффициент 1-ге , ал қалған коэффициенттері бүтін сандар, бұл жағдайдат көпмүшеліктің бүтін түбірлерін бос мүшенің ,яғни 45-тің бөлгіштерінің ішінен іздестіру керек. Берілген көпмүшелік үшін:  45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 және -45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1сандары болуы мүмкін. Мысалға 1 санын тексерейік:

№1 кесте.

Көріп отырғанымыздай  x=1 болғанда x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45 көпмүшелігінің мәні 192-ге тең , бірақ  1 саны берілген көпмүшеліктің түбірі болмайды. Енді x=-1үшін тексерейік. Ол үшін жаңа кесте құрмай –ақ  1-ші кестені жалғастырамыз.

№2 кесте

x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45 көпмүшелігінің x=-1 болғандағы мәні 0-ге тең ,олай болса -1 берілген көпмүшенің түбірі. x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45 көпмүшелігін      x-(-1)=x+1 екімүшесіне бөлгеннен кейін  коэффициенттері кестенің үшінші жолындағы сандарға тең x^5+x^4 22x^3+2x^ 2+69x+45 көпмүшелігін алдық. Есептеу қорытындысын мына түрде көруге болады:  x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45)

Бүтін түбірлерді іздестіруді жалғастырамыз. Енді x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45 көпмүшелігінің түбірлерін іздестіру керек.  Бұл көпмүшеліктің бүтін түбірлерін  бос мүше-45 санының бөлгіштерінің ішінен іздестіреміз.  Бұрынғы 2-ші кестені пайдаланып  төртінші жолына -1 санын тағы тексереміз  :

-1 саны x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45 көпмүшелігінің түбірі. Бұл нәтижені былай жазамыз:   x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)

(2) және  (1) теңдіктерді ескере отырып , мынадай теңдікті жазуға болады :

x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^2+2x^2+69x+45  =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^4-22x^2+24x+45)

Енді x^4-22x^2+24x+45 көпмүшелігінің түбірін оның бос мүшесі 45-тің бөлгіштерінің арасынан іздейміз.   -1санын тағы тексеріп көрейік:

Кестеден -1 саны x^4-22x^2+24x+45 көпмүшелігінің түбірі болатынын көреміз.  Бұл нәтижені былай жазуымызға болады:  x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45)

(3) және  (4)  теңдіктерді ескере отырып  мынадай  түрдегі теңдік аламыз:

x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3+24x+45) =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^2-21x+45)

Енді x^3-x^2-21x+45 көпмүшелігінің түбірлерін іздейміз . -1 санын тағы тексереміз:

Тексеру нәтижесінде x^3-x^2-21x+45 көпмүшелігінің мәні 64-ке тең екенін көреміз, яғни -1 саны берілген көпмүшеліктің түбірі болмайды. Бұл жолды да қызылмен белгілеп қояйық. Енді 3 санын тексереміз:

Кестеден 3 санының берілген көпмүшеліктің түбірі екенін көреміз, осыдан берілген көпмүшелікті былай жіктеп жаза аламыз: x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15) . Енді  (5)-ші теңдікті былай жазамыз:

x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45 =(x+1)^3(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x-3)(x^2+2x-15)

3 санын тағы тексеріп көрейік:

Алынған нәтижені мынадай түрде жазуға болады ( бұл (6)-шы теңдіктің жалғасы):

x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^3(x-3)(x^2+2x-15  =(x+1)^3(x-3)(x-3) (x+5)= (x+1)^3(x-3)^2(x+5)

Жақша ішіндегі соңғы өрнектен көретініміз 5 саны да берілген көпмүшелік-тің түбірі болады, мұны Горнер  схемасына салып та тексеруімізге болады . Сонымен: x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^3(x-3)(x^2+2x-15)=(x+1)^3(x3)^2(x+5)

-1;3;5 сандары берілген теңдеудің түбірлері, яғни (x+1) екімүшесі үшінші дәрежелі, бұдан -1 саны үш рет көпмүшеліктің түбірі, ал (x-3) екі-мүшесі екінші дәрежелі, 3 саны екі рет көпмүшеліктің түбірі болса ,ал (x+5) екімүшелігі бірінші дәрежелі болғандықтан -5 қарапайым түбірі болады.   Берілген мысалдың шешу жолдарын мынадай кесте арқылы көрсетуге болады. Бұл кестеден мүмкін болатын түбірлерінің және жауаптарының нұсқалары анық көрінеді.

4- мысал

2 және -5 сандары  3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100  көпмүшелігінің түбірі болатынын дәлелдейік. Ол үшін берілген көпмүшелікті х-2 және х+5 екімүше-ліктеріне бөлеміз.

Шешуі:

3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100көпмүшелігінің дәрежесі 6-ға тең. Берілген екімүшеліктерге бөлгеннен кейін оның дәрежесі 2-ге төмендейді, яғни 4-ке тең болады.

Бұл әдіс түбірлері бүтін сан болмаған жағдайда тиімсіз болғанымен, бүтін түбірлері бар көпмүшеліктерді жіктеуде жақсы нәтижеге жетуге болады.

Осы тәсілді ортағасырлық Қытай математиктері пайдаланып келген. Бір-біріне тәуелсіз түрде 1819 жылы ағылшын математигі Уйльям Горнер (1786 – 1837) және итальян математигі Паоло Руффин (1765 – 1822) қайта ашқан (1804 жылы).

Безу теоремасына сүйеніп, теңдеудің дәрежесін біртіндеп төмендету.

Бұл әдіс теңдеудің рационал, дербес жағдайда бүтін, түбірлері бар болған жағдайда қолайлы болып табылады. Оның мәні теңдеудің сол жақ бөлігіндегі көпмүшені рационал түбірлері арқылы көбейткіштерге жіктеу.

Бұл әдісті меңгерту үшін оқушыларға француз математигі Безу (1730-1783) есімімен аталатын теореманы және көпмүше түбіріне байланысты негізгі тұжырымдарды таныстырып (дәлелдеуін келтіріп) өткен жөн.

Айталық,  P(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+a₀      көпмүшесі берілсін.

Теорема 1. (Безу теоремасы). Р(х) көпмүшесін x-a екімүшесіне бөлгендегі қалдық Р(х) -тің x=a болғандағы мәніне тең.

Сонда  (x-a)( a_n-1x^n-1+…+a₀ )+R.     болса, мұндағы R=P(a).

Теорема 2. Р(х) көпмүш x-a екімүшесіне қалдықсыз бөлінгенде, тек сонда ғана a саны Р(х) көпмүшесінің түбірі болады.

Яғни Р(х) көпмүшесін (x-a)( a_n-1x^n-1+…+a₀ )+R.түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады. Мұндағы Q(x) дегеніміз (n-1)-ші дәрежелі бөлінді көпмүше, ол Р(х)-ті x-a екімүшеге бөлгенде пайда болады.

Осылайша Р(х)=0 теңдеуі х=а түбірі табылғаннан кейін Q(x)=0 теңдеуін шешуге келтіріледі.

Егер теңдеу бүтін коэффициентті болса, онда оның рационал түбірлерін табу үшін келесі теоремаға сүйенеміз.

Теорема 3. Егер қысқартылмайтын бөлшегі бүтін коэффициентті p(x)=g(x)   теңдеуінің түбірі болса, онда р саны бос мүшенің бөлгіші, ал q саны бас коэффициенттің бөлгіші болады.

Анықтама. f(x) = g(x)  (1) теңдеуі, мұнда f және g бүтін рационал өрнектермен берілген, бүтін рационал теңдеулер деп аталады.

Көпмүшеліктің алгебралық қосындысы және көбейтіндісі көпмүшелік болады. Сондықтан да, теңбе – тең түрлендірулер арқылы әрбір бүтін рационал теңдеуді көпмүшелік түрінде жазып көрсетуге болады   теңдеуіне мәндес теңдеуге көшуге болады,  P(x)  = Q(x)  (2) мұнда: P(x) және Q(x) – х айнымалысынан тәуелді кейбір көпмүшеліктер (2) теңдігі Q(x) –ті теңдеудің сол жағына өткізіп мәндес  P(x) – Q(x) = 0 теңдеуін аламыз, мұндағы теңдеудің сол жағында көпмүшелік, ал оң жағында        0 (нөл) саны тұр.Теңдеудің сол жағындағы көпмүшеліктің дәрежесін, бүтін рационал теңдеудің дәрежесі деп атаймыз. Жоғарыда көрсеткеніміздей кез –келген бүтін рационал теңдеуді оған мәндес стандартты түрдегі теңдеуге келтіруге болады.

Теорема 3.  Егер бүтін коэффицентті P(x)  = Q(x)  (2) теңдеуінің  мұнда p/q – қысқартылмайтын бөлшек, рационал түбірі бар болса, онда p  –  a_n  бос мүшенің бөлгіші, ал  q –  a₀  бас коэффицентінің бөлгіші болады.

Ескерте кетелік, нақты рационал теңдеулерді шешу барысында жасалынатын түрлендірулер берілген теңдеуге теңбе-тең теңдеуге әкеледі. Сондықтан да әрбір қадамда табылған түбірлерді тексеріп, оны есте сақтап отырудың қажеті жоқ. Бөлшек – рационал теңдеулерді шешкенде теңдеудің екі жағында Q(x) өрнегіне көбейтеді,  ал бұл бөгде түбірлердің пайда болуына әкеліп соғады. Сондықтан да бөлшек – рационал теңдеулерді шешкенде міндетті түрді тексеру жүргізген жөн.

Рационал теңдеулерді шешудің негізгі әдістері:

–  көбейткіштерге жіктеу;

–  жаңа (көмекші) айнымалыны енгізу.

Есеп шығару – математиканы игерудің ең жоғары продуктивтік формасы, ой жұмысы. Ой жұмысы арқылы оқушылар дербес ойлауға, қорытынды  шығарып, математикалық ақиқатты көре білуге, дәлдікке үйренеді. Есепті бірнеше әдіспен шығару ізденушілік қасиетін, шығармашылықпен жұмыс істеу қабілеттілігнің дамуына көп көмектеседі. Бұл жұмыста  мектеп бағдарламасынан   тыс көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің стандартты емес тәсілдері қарастырылды. Сонымен қорыта келе, Горнер схемасы бойынша жіктеуді әрбір оқушы жетік меңгерсе:

• Көпмүшені көбейткіштерге тез жіктей алады;
• Уақытты тиімді пайдаланады;
• Шығара алатын есептерінің көлемі кеңейеді;
• Жоғары дәрежелі теңдеулерді көбейткіштерге жіктеу арқылы шеше алады.