ЕКІНШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ КЕЙБІР ТҮРЛЕРІН ШЕШУГЕ МҮМКІНДІК ТУҒЫЗАТЫН ШАРТТАРДЫ АЙҚЫНДАУ
Дифференциалдық теңдеулер курсында өтілетін коэффициенттері айнымалы екінші ретті біртекті сызықты біртекті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық.
(1)
Мұндағы, коэффициенттері интервалында берілген , нөлге тең емес, бірінші ретті туындылары бар, үзіліссіз функциялар.
Мұндай теңдеулердің шешімдері функцияларына байланысты анықталады. Дегенмен, коэффициенттері айнымалы теңдеудің жалпы шешімдерін құруды былай қойғанда, қандай да қандай да бір дербес шешімін таюбудың өзі көкейкесті мәселе. /1/
Біз бұл мақалада , (1) түрдегі кейбір дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің маңыздылығын ескеріп, оларды анықтауға мүмкіндік туғызатын шарттарды айқындау жолдарын көрсетеміз.
Алдымен (1) теңдеуге жаңа айнымалысын енгіземіз, яғни
(2)
Алмастыру нәтижесінде бірінші ретті сызықты емес дифференциалдық теңдеуге келеміз.
(3)
Осы теңдеуді топтастырып жүйе түрінде шешу арқылы қарастырылған екінші ретті коэффициенттері айнымалы дифференциалдық теңдеулердің кейбір түрлерінің бір дербес шешімін табуға мүмкіндік беретін шарттарды айқындаймыз.
Бірінші топтастыру:
Анықталған бұл шешімдер бірдей болуға тиісті деп шарт қоямыз.
(5)
Мұндағы интегралдау тұрақтысы С1– кез келген сан.
Сонымен (1) үшін (5) шарт орындалса, теңдеудің бір дербес шешімі келесі формулалардың бірі арқылы анықталады.
немесе (6)
1-мысал. теңдеудің бір дербес шешімін табу.
Шешуі: Теңдеу үшін (5) шартты тексереміз
шарт орындалды , ендеше теңдеудің бір дербес шешімі:
Тексеру:; демек анықталған шешім орынды.
Екінші топтастыру:
(7)
Берілген теңдеу үшін (7) шарт орындалса, онда оның бір дербес шешімі:
немесе (8)
2-мысал. теңдеуінің шешу.
Шешуі:
Берілген теңдеу үшін (7) шарт орындалып тұр, олай болса теңдеудің бір дербес шешімі:
Тексеру:
Үшінші топтастыру:
(9)
Cонымен (8) шарт орындалғанда , (1) теңдеудің бір дербес шешімі:
немесе (10)
3-мысал. теңдеуін шешу керек.
Шешуі: Қарастырылған теңдеу үшін (8) шартты тексереміз.
Шарт орындалды , ендеше (9) формула бойынша :
Тексеру:
Төртінші топтастыру:
(11)
Бұл шарт орындалғанда, (1) теңдеудің бір дербес шешімін топтастырудағы жүйенің екінші шешімін топтастырудағы жүйенің екінші шешімі бойынша анықтаған ыңғайлы, яғни
(12)
4-мысал. теңдеуінің бір дербес шешімін табу керек болсын делік.
Шешуі: Берілген теңдеу үшін (10) шарттың орындалуын тексереміз.
Шарт орындалды, ендеше (11) формула бойынша анықталатын дербес шешім:
Тексеру:
Қорыта келе айтарымыз, коэффициенттері айнымалы және тұрақты дифференциалдық теңдеулердің жоғарыда көрсетілген төрт шартты қолданып, кейбір дербес шешімін анықтау, студенттер үшін оңтайлы әдістемелік ізденіс болары анық.