Тақырыбы: «Әл-Фарабидің жаһандық математикалық мұрасы»

 Бағыты:        Математика

ПІКІР

Ғылыми жоба тақырыбы:

«Әл-Фарабидің жаһандық математикалық мұрасы»

Жұмыс зерттеу қызметіне қойылатын талаптарға сәйкес келеді. 7 сынып  оқушысы Шадманова Айдана Маратқызы мектеп бағдарламасынан тыс білімін көрсете отырып, әртүрлі ақпаратты пайдаланды. Бұл жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнің тарауларынан, қорытындыдан тұрады. Кіріспе бөлімінде тақырыптың өзектілігіне негіздеме беріліп, зерттеудің мақсаттары мен міндеттері ашылған.

Зерттеу мақсаты: Әл-Фарабидің математикалық мұрасын қазіргі математикалық білім беруде жаңа ақпараттық технологияларды қолдана отырып, олардың мазмұнын бүгінгі математика мазмұнымен үйлестіре отырып тиімді пайдалану жолдарын көрсету.

Зерттеу міндеттері:

• Әл-Фарабидің геометриясын, тригонометриясын, арифметикасын, алгебрасын және музыка теориясын зерттей отырып, оларды қазіргі дәуір тұрғысынан математикалық тұрғыдан негіздеу;

• Әл-Фарабидің математикалық мұрасының бірегейлігін анықтау;

Ғылыми жұмыста Әл-Фарабидің математиканы қолдану туралы әдіснамалық ұстанымдары мен ұсыныстары философиялық декларация түрінде ғана қалып қойған жоқ, себебі қазіргі кезде ғалымның математикалық мұрасы математиканың қолданбалы салаларында, сондай-ақ математикалық жаратылыстану салаларын құруда сәтті қолданылуда деген болжам дәлелденген. Практикалық маңыздылығы: Қазіргі білім беру жүйесіне ақпараттық технологиялар негізінде Әл-Фарабидің математикалық мұрасын енгізу оқушылардың оқу, дамыту және тәрбие аспектілерінде пәндік дайындық сапасына айтарлықтай әсер ететінін атап өткен жөн. Ұлы ғалымның бай математикалық мұрасының қоғамдық маңыздылығын ұғыну есебінен ғылыми дүниетанымды, патриотизм мен интернационализм сезімдерін, сондай-ақ оқытудың басқа да әлеуметтік-құнды ниеттерін қалыптастыру мен дамытуға ықпал ететін болады.

Бұл тақырыптың өзектілігі күмән тудырмайды. Оқушылардың осы саладағы білімдерін тереңдетуге ықпал етеді.

Автор нақты мысалдармен оқушылар мен ересектер үшін қызығушылық тудыратын бірқатар қорытындыларды қамтиды.

Мазмұны

Аңдатпа. 4

Кіріспе. 7

1. Әл-Фарабидің математикалық еңбектерін сипаттау. 8
2. Дөңгелек центрін анықтау туралы.. 10
3. Тең қабырғалы фигураларды салу туралы.. 16

Аңдатпа

Зерттеу мақсаты:Әл-Фарабидің математикалық мұрасын қазіргі математикалық білім беруде жаңа ақпараттық технологияларды қолдана отырып, олардың мазмұнын бүгінгі математика мазмұнымен үйлестіре отырып тиімді пайдалану жолдарын көрсету.

Зерттеудің міндеттері:

• Әл-Фарабидің геометриясын, тригонометриясын, арифметикасын, алгебрасын және музыка теориясын зерттей отырып, оларды қазіргі дәуір тұрғысынан математикалық тұрғыдан негіздеу;
• Әл-Фарабидің математикалық мұрасының бірегейлігін анықтау;

Болжамы:

Әл-Фарабидің математиканы қолдану туралы әдіснамалық ұстанымдары мен ұсыныстары философиялық декларация түрінде ғана қалып қойған жоқ, себебі қазіргі кезде ғалымның математикалық мұрасы математиканың қолданбалы салаларында, сондай-ақ математикалық жаратылыстану салаларын құруда сәтті қолданылуда.

Зерттеу кезеңдері:

• Мәселені белгілеу, тақырыпты тұжырымдау және оның өзектілігін негіздеу
• Зерттеудің мақсаты мен міндеттерін тұжырымдау
• Зерттеу нысаны мен тақырыбын анықтау
• Зерттеу гипотезасын ұсыну
• Зерттеу әдістері мен әдістерін таңдау
• Эксперимент жүргізу және зерттеу процесінің сипаттамасы
• Деректерді талдау және түсіндіру, тұжырымдау

Зерттеу әдістері:

Жүйелік талдау, құжаттама зерттеу.

Зерттеу жаңалығы:

Әл-Фарабидің математикалық мұрасының бірегейлігі-математикалық мәселелерді шешуде алгоритмдік тәсілді қолдану және ол жүргізген зерттеулердің қолданбалы бағыты. Бұл электронды оқытудың дидактикалық құралдарын құруға мүмкіндік береді, өйткені информатика мен ақпараттандырудың негізі, сонымен қатар АКТ-ны қолдану алгоритм тұжырымдамасына негізделген.

Практикалық маңыздылығы:

Қазіргі білім беру жүйесіне ақпараттық технологиялар негізінде Әл-Фарабидің математикалық мұрасын енгізу оқушылардың оқу, дамыту және тәрбие аспектілерінде пәндік дайындық сапасына айтарлықтай әсер ететінін атап өткен жөн. Ұлы ғалымның бай математикалық мұрасының қоғамдық маңыздылығын ұғыну есебінен ғылыми дүниетанымды, патриотизм мен интернационализм сезімдерін, сондай-ақ оқытудың басқа да әлеуметтік-құнды ниеттерін қалыптастыру мен дамытуға ықпал ететін болады.

Аннотация

Цель исследования: показать способы эффективного использования математического наследия Аль-Фараби с использованием новых информационных технологий в современном математическом образовании, сочетая их содержание с содержанием современной математики.

Задачи исследования:

• Математическое обоснование геометрии, тригонометрии, арифметики, алгебры и теории музыки Аль-Фараби с точки зрения современной эпохи;
• Определение уникальности математического наследия Аль-Фараби;

Гипотеза:

Методологические позиции и предложения аль-Фараби об использовании математики остались не только в форме философских деклараций, так как в настоящее время математическое наследие ученого успешно используется в прикладных областях математики, а также в создании естественно-математической области.

Этапы исследования:

• Постановка проблемы, формулирование темы и обоснование ее актуальности
• Формулирование цели и задач исследования
• Определение темы и объект исследования
• Выдвижение гипотезы исследования
• Выбор методов и приемов исследования
• Описание процесса проведения эксперимента и исследования
• Анализ и интерпретация данных, формулировка

Методы исследования:

Системный анализ, изучение документации.

Новизна исследования:

Уникальность математического наследия Аль-Фараби заключается в применении алгоритмического подхода к решению математических задач и прикладном направлении проводимых им исследований. Это позволяет создавать дидактические средства электронного обучения, так как в основе информатики и информатики, а также использования ИКТ лежит концепция алгоритма.

Практическая значимость:

Следует отметить, что внедрение математического наследия Аль-Фараби в современную систему образования на основе информационных технологий существенно влияет на качество предметной подготовки учащихся в аспектах обучения, развития и воспитания. Будет способствовать формированию и развитию научного мировоззрения, чувства патриотизма и интернационализма, а также других социально-ценных намерений обучения за счет осознания общественной значимости богатого математического наследия великого ученого.

Annotation

The purpose of the research is to show ways to effectively use the mathematical heritage of al-Farabi using new information technologies in modern mathematical education, combining their content with the content of modern mathematics.

Research objectives

• Mathematical justification of geometry, trigonometry, arithmetic, algebra and music theory of al-Farabi from the point of view of the modern era;
• Defining the uniqueness of al-Farabi’s mathematical heritage;

Hypothesis:

Al-Farabi’s methodological positions and suggestions on the use of mathematics have remained not only in the form of philosophical declarations, since at present the mathematical legacy of the scientist is successfully used in applied areas of mathematics, as well as in the creation of the natural-mathematical field.

Research stages:

• Statement of the problem, formulation of the topic and justify its relevance
• Formulation of research goals and objectives
• Definition of the topic and object of research
• Putting forward a research hypothesis
• Selection of research methods and techniques
• Description of the experiment and research process
• Data analysis and interpretation, formulation

Research methods:

System analysis, study of documentation.

The novelty of the research:

The uniqueness of al-Farabi’s mathematical heritage lies in the application of an algorithmic approach to solving mathematical problems and the applied direction of his research. This makes it possible to create didactic e-learning tools, since the concept of an algorithm is at the heart of computer science and Informatics, as well as the use of ICT.

Practical significance:

It should be noted that the introduction of al-Farabi’s mathematical heritage into the modern education system based on information technologies significantly affects the quality of students ‘ subject preparation in the aspects of education, development and upbringing. It will contribute to the formation and development of a scientific worldview, a sense of patriotism and internationalism, as well as other socially valuable learning intentions by realizing the social significance of the rich mathematical heritage of the great scientist.

Кіріспе

Шығыстың ғұлама ойшылы Әбу Насыр әл-Фараби 870 жылы бүгінде Отырар аталатын, Арыс өзенінің Сырға барып құятын сағасындағы Фараб қаласында дүниеге келді (қазіргі Оңтүстік Қазақстан облысындағы Отырар қаласының маңайындағы ортағасырлық қала). Фарабидің толық аты-жөні Әбу-Насыр Мұхаммед Иби Мұхаммед ибн Ұзлағ ибн Тархан Әл-Фараби. Әл-Фараби түрік тайпасының дәулетті бір ортасынан шыққаны бізге мәлім, бұған дәлел оның толық аты жөнінде «Тархан» деген атаудың болуы. Туған жері қазақтың ежелгі қаласы Отырарды арабтар Барба-Фараб деп атап кеткен, осыдан барып ол Әбу Насыр әл-Фараби, яғни Фарабтан шыққан Әбу Насыр атанған. Сол тұста өмір сүргендердің қалдырған жазбаларына қарағанда, Отырар қаласы IX ғасырда тарихи қатынастар мен сауда жолдарының торабындағы аса ірі мәдениет орталығы болған.

Әл-Фараби математикалық мазмұндағы көптеген еңбектер қалдырды: «ғылымдарды жіктеу туралы сөздер» математикалық бөлімі (қолжазбалар Париж, Ыстамбұл, Мадрид кітапханаларында сақталған), «Алмагестке қосымшалар» кітабының тригонометриялық тараулары(бізге белгілі жалғыз қолжазба Лондондағы Британ мұражайында сақтаулы, ол әлі күнге дейін жарияланбаған және басқа тілдерге аударылмаған), «геометриялық фигуралардың нәзіктіктері туралы рухани шебер қабылдаулар мен табиғи құпиялар кітабы» (бізге белгілі жалғыз қолжазба Швециядағы Уппсала университетінің кітапханасында сақтаулы), «Евклидтің бірінші және бесінші кітаптарына кіріспелердегі қиындықтарға түсініктемелер» (бұл шығарманың араб қолжазбалары сақталмаған, бірақ Мюнхенде сақталған еврей аудармасының екі қолжазбасы бар), «Жұлдыздардың үкімдерінде не дұрыс және бұрыс екендігі туралы Трактат» (бірнеше қолжазбалар сақталған, қазіргі тілдерге басылымдар мен аудармалар бар).

«Ғылымдарды жіктеу туралы сөздер» математикалық тарауында әр математика ғылымының пәні анықталады: сандар ғылымы (арифметика және сандар теориясы), геометрия ғылымы, жұлдыздар туралы ғылым (астрономия және астрология), музыка ғылымы, салмақ туралы ғылым және шебер әдістер туралы ғылым. Соңғы жағдайда Әл-Фараби, ең алдымен, «айлакер» механизмдерді құру өнерін білдіреді. Әл-Фараби математиканы практикалық есептерді шешуге қолдану туралы ғылым ретінде қарастырады және бұл терминді, атап айтқанда, сандық есептерді шешудің алгебралық және басқа әдістеріне таратады.

Әл-Фараби өзінің тригонометриялық тарауларында ширек, шеңбердің үштен бір бөлігі және т.б. аккордтың көлемін анықтау бойынша бірқатар міндеттер келтіреді, олардың әрқайсысы «Алмагестке» түсініктемелерге жақын орналасқан оның «кітап қосымшасы» атты жеке тарауында баяндалған және жеке, дербес міндет болып табылады, сондай-ақ тригонометриялық функциялардың кестелерін жасау үшін қажетті келесі міндеттерді дәлелдеу үшін дайындық материалы ретінде қызмет етеді.

Әрине, әл-Фарабидің тригонометриядағы осы және басқа да міндеттері қазіргі математикалық білім беруде алгебраның міндетті курсы аясында да, тәуелсіз элективті курс түрінде де оқуға, дәлелдеуге және қолдануға лайық. Оқушылар тригонометрия туралы берік білімге ие болуы керек, өйткені олар үлкен практикалық бағытқа ие, ұғымдардың үлкен тізбегінің буыны болып табылады және пәнаралық байланыстарды жүзеге асыруда үлкен маңызға ие.

Бүгінгі таңда «Геометриялық фигуралардың нәзіктіктері» туралы рухани шебер «Тәсілдер мен табиғи құпиялар кітабы» деп аталатын әл-Фарабидің еңбегі ерекше құнды болып табылады. Жер, сәулет, инженерия және геодезиядағы маңызды геометриялық құрылыстарға арналған бұл жұмыс кіріспеден және 10 кітаптан тұрады (макалат); ол геометрияны практика мен басқа ғылымдардың әртүрлі мәселелеріне қолдану үшін жасалған.

1.    Әл-Фарабидің математикалық еңбек­­терін сипаттау

ӘбуНасырәл-Фарабидей ұлы данышпанның бай мұрасын жан-жақты талдап, сарқа тану қиын. Өйткені оның творчествосы сан-салалы. Өзін атақты философ, дарынды математик, кемеңгер ойшыл ретінде таныта білген ғұлама ғылымға шын беріліп, асқан жігері мен күш-қайратын жұмсап, еңбектенгендігі белгілі.
2019 жылы тамыздың 26-сында Қазақстан Президенті Қасым-Жомарт Тоқаевтың Жарлығы шықты. Күллі түркі жұртының мақтанышы, әлемдегі Аристотельден кейінгі «екінші ұстаз» атанған ғалым-философ Әбу Насыр әл-Фарабидің 1150 жылдық мерейтойын мемлекеттік деңгейде атап өту және мемлекеттік комиссия құру туралы қаулы қабылданды.

Әл-Фарабидің математикалық еңбек­­тері: «Ғылымдар тізбегі» немесе «Ғы­лым­дар классификациясы», «Алмагес­ке қосымша кітабы», «Евклид­­­тің «Бас­тауының» бірінші және бесін­ші кітаптарының қиын жерлері­не түсініктеме», «Табиғат сырын гео­метрия­лық фигуралар арқылы танытарлық рухани әдістер». Бұлардан басқа да мате­мати­каға тікелей немесе жанама қатысы бар көп деректер ғұламаның «Музыканың үлкен кітабы», «Алмагеске түсініктемесі» атты еңбектерінде мол орын алған.

Геометрия бойынша оқулықтар баян­дау әдісіне қарай ғылыми трактаттардан ерекшеленуі тиіс және мектеп пен медресеге арналған геометрия бойынша оқу құралдарын құрастырушылар басшылыққа алуы тиіс қағидат еді. Бұл туралы ІХ-Х ғ. «Екінші Шығыстық ұстаз» Әбу Насыр әл-Фарабидің Евклидтің «Бастауының» бірінші және бесінші кітаптарына түсініктемесінде айтылған. Әбу Насыр әл-Фарабидің оқулық жайлы сөзіне жүгінелік: «…санаға сай тәртіп бойынша, алдымен нүкте, кейін сызық, одан кейін сыртқы беті, кейін барып дене. Алайда оқушы жайлы айтқанда, оқы­тудың басында оқушы сезілетін нәр­сеге мықты болғандықтан, біз алдымен сезімге сәйкес тәртіпті қолданамыз, ал ғылыми шығармада ақылға сай тәр­тіп қолданылады. Сондықтан оқыту сезі­летінде неден басталуы тиіс..». Басқашығар­маларындаәл-Фараби Евклидтің «Бастауларында» педагогикалық тәсіл­дің жоқтығын сынға алып, математикадан оқу құралдарын жазу барысында оқушылардың жас ерекшеліктерін ескеру қажеттігін атап өтті.

Әл-Фарабидің пікірлерінен мектеп, медресе мұғалімдері мен осындай мектептерге арналған оқулықтардың авторлары басшылыққа алуы тиіс жалпы дидактикалық нұсқаулар анық көрінеді.

Қазақстанда және көршілес мемлекеттерде құрылыстың сәулеттік нысанын құру кезінде  «өнердің геометриялық тәсілдеріне» негізделгенін дәлелдеген нақты мысалдар аз емес. Бұлтұрғыда өзбек архитекторы С.М.Болатовашқан Х-ХV ғасырларда бірқатар Орталық Азияның ескерткіштеріне еселігі √2-ге тең болатын геометриялық прогрессия, яғни квадраттың қабырғасы мен диагоналын қолдануға негізделген пропорция жүйесі қолданылған. Құрылыс нысандарын құрудың бұл әдісі Қожа Ахмет Ясауи сынды бірегей Қазақстандық сәулет ескерткіші үшін де қолданылды. Мұндай күрделі ғимаратты салу сәулетшілерден құрылыс технологиясының негіздері бойынша білімнің болуын талап еткені сөзсіз. Шын мәнінде, кеңес сәулет­шісі Л.Ю.Маньковскаяныңз ерттеуі көрсеткендей «Қожа     Ахмет Ясауи кесе­несінің жобасы сәулет және конструк­тив­ тік формаларды құру еориясын дұрыс меңгерген және осы теорияны даныш­пандықпен пайдаланған дәрежесі өте жоғары шебер әзірлеген».  Түркістан шебері өз туындысының әрбір элементін жобалауға көп ойланғанын қисық аркалар мен күмбездерді тұрғызғанынан көреа ламыз. Ахмет Ясауи кешенінің аркаларын ғылыми-зерттеу оның құрылысшыларына құрылыстың көптеген өз заманының технологиялары мәлім болған деп есептеуге мүмкіндік береді.

Бұл келтірілген мысалдар Қазақстан мен Орталық Азияның сәулет ескерткіш­терін тұрғызған орта ғасырлық сәулет­ші­лердің Әбу Насырәл-Фараби көрсеткендей «өнер тәсілдеріне» жататын математикағ анегізделген салу есептері мен есептеулерді пайдаланғанын дәлелдейді.

Бүгінде Әл-Фарабидің өмірі мен еңбектерін, мұрасын іздеп тауып, оны зерттеу тұрғысынан қыруар жұ­мыс ат­қарылды. Білім және ғылымминистр­лігі­нің Философия, саясаттану және дінтану институтының Шығыс фило­софия­­сы және фарабитану бөлі­мінде Әл-Фарабидің диалектикасы, гно­сеологиясы мен әлеуметтік философиясы мә­селелері бойынша зерттеулер циклі жүр­гізіліп келеді. Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлт­тық университетінде құрылған Фара­би­тану орталығында Әл-Фараби мұра­ларын аудару, зерттеу, насихаттау бо­йын­ша үлкен жұмыстары орындалып  жатыр.

1. Дөңгелек центрін анықтау туралы

Егер ол сегментті толық дөңгелекке дейін қалай толықтыру керек десе, онда AВС сегментін саламыз да, В нүктесінде қақ бөлеміз. AВ және ВС сызықтарын жүргізіп, AВ мен ВС сызықтарындағы А және С нүктелерінің әрқайсысына ВСD және BAD  тікбұрышынтарын тұрғызамыз. ВD сызығын жүргізіп, оны Е нүктесінде қақ бөлеміз. Сонда E нүктесі ABC⁷ доғасының центрі болып табылады. Міне оның суреті [2 – сурет].

Егер олцентрі D нүктесі болатын ВС дөңгелегіне А нүктесінен қалай жанама жүргізуге болады десе, онда  AD  сызығын жүргіземіз. Ол ВС дөңгелегін В нүктесінде қияды. D центрінен DА қашықтықта AE дөңгелегін салайық. В нүктесінде АВЕ тікбұрышын тұрғызып, ВС дөңгелегін С нүктесінде қиятын ЕD сызығын жүргіземіз. А – мен С – ны қосамыз. Сонда АС ВС⁸ дөңгелегіне жүргізілген жанама болып табылады. Міне оның суреті [3 – сурет].

Егер ол жанаманы қолөнершінің тәсілі бойынша сал десе, онда сызғышты ВС сызығына орналастырып циркульді біршамаға ашамыз; Егер оның бір ұшы сызғыш бойымен қозғалатын болса, онда екінші ұшы А нүктесі арқылы өтіп, ВС⁹–ға параллель сызықты береді. Міне оның суреті [4 – сурет].

Егер ол: А нүктесінен ABC дөңгелегінің шеңберіне жанаманы қалай жүргізеді десе, онда А нүктесін дөңгелектің центрі D нүктесімен қосамыз, демек А мен D–ны [AD сызығымен] қосамыз. А нүктесінде AD сызығының бойымен DAE тікбұрышын тұрғызамыз. Сонда АЕ сызығы – ABC дөңгелегіне жанама болады¹⁰. Міне оның суреті [5 – сурет].

Егер ол АВС үшбұрышының АВ және АС сызықтарының арасына ВС–ға параллель болатын және егер ВС сызығы D сызығынан кіші болған жағдайда берілген D сызығына тең сызық сал десе, онда ВС сызығын оның бағытында [ВЕ D–ға тең болатындай  Е  нүктесіне дейін] созып, ал [егер ВС D сызығынан үлкен болса] D–ғатең ВЕ сызығын ВС сызығынасаламыз. Е нүктесінен АВ сызығына параллель сызық жүргіземіз. Ол АС–ны G нүктесінде қиып өтеді. G нүктесінен ВС сызығына параллель сызық жүргіземіз; Бұл АВ–мен қиылысатын GH сызығы. Сонда GH D сызығана тең және ВС сызығына параллель.  Міне оныңсуреті [6 – сурет].

Егер ол АВС үшбұрышының АВ және АС сызықтарының арасына ВС сызығына параллель, мысалы АВ сызығында ол қиып алатын кесіндіге тең, яғни ЕВ сызығына тең DE сызығын салу керек болса, онда АСВ бұрышын BD сызығымен қақ бөлеміз де D нүктесінен ВС–ға параллель DE сызығын жүргіземіз. Сонда DE сызығы ЕВ¹² сызығына тең. Міне оныңсуреті [7 – сурет].

Егер ол  АВС үшбұрышында, мысалы, ВС сызығына параллель және ВЕ мен F сызықтарына тең DE сызығын сал десе, онда ВС сызығына  F сызығынатең BG сызығын салып, G нүктесіарқылы АВ–ға параллель GH сызығын жүргізіп,  HGC  бұрышын қақ бөлетін GD сызығын [G нүктесі арқылы] жүргіземіз де  D нүктесінен  ВС сызығына параллель DE сызығын жүргіземіз. Сонда DE сызығы  ВЕ және F сызықтарына тең. Міне оның суреті [8 – сурет].

Басқа үшбұрышқа тең үшбұрышты салу туралы.  Егер ол қабырғалары басқа үшбұрыштың қабырғалырына тең үшбұрышты сал десе [мысалы АВС], онда DE түзу сызығын жүргіземіз де, АВ сызығына тең DG,  BC сызығына тең GH және СА тең HF сызығын  саламыз. G нүктесін центр ретінде қабылдап GD қашықтығында дөңгелек бөлігін келтірейік, сол сияқты H нүктесін центр ретінде қабылдап HF қашықтығында дөңгелек бөлігін келтіреміз. Бірінші бөлігі [екінші бөлігін] I нүктесінде қиыпөтеді. Ары қарай GI және ІH сызықтарын жүргізейік. Онда GIH үшбұрышының қабырғалары АВС¹⁴ үшбұрышының қабырғаларына тең. Міне оның суреті [9 – сурет].

Бұрышты тең үш бөлікке бөлу туралы. Егер ол АВС бұрышын тең үш бөлікке бөл десе, онда АВС бұрышы тікбұрышты болса, ВС сызығында тең қабырғалы DBC үшбұрышын тұрғызамыз. Сонда ABD бұрышы тікбұрыштың үштен бір бөлігі. DBC бұрышын қақ бөлеміз¹⁵.  Міне оның суреті [10 – сурет].

Егер бұрыш тік бұрыштан кіші болса, онда В нүктесін центр ретінде қабылдап ВА қашықтықта DAС дөңгелегін келтіреміз. BD ны ВС–ға тікбұрыш бойынша қойып, СВ–ны дөңгелекпен қиылысқанша Е нүктесіне созамыз. Сызғышты А нүктесіне әкеліп оны CDE дөңгелегінің шеңбері бойынша DB перпендикуляры және DE доғасының арасында жатқан HF сызығы DB сызығына тең болғанша қозғайтын боламыз, бұл жағдайда сызғыш А нүктесінен таймайды. Ары қарай EF доғасынатең EK доғасынсаламыз да KB жүргізіп L нүктесіне дейінгі бағытта жалғаймыз. Онда LBC бұрышы АВС бұрышының үштен біріболады. Әрі қарай ABL бұрышын қақ бөлеміз. Міне оның суреті [11 – сурет].

Бұрышты тең үшке бөлудің басқатәсілі.  АВС сүйір бұрышын тұрғызайық та және егер біз оны тең үш бөлікке бөлгіміз келсе, А нүктесінен AH перпендикулярын [ВС сызығына нүктеден түсіреміз]. В нүктесіне сызғышты әкеліп, AD мен AH сызықтарының арасына орналасқан сызық екі еселенген  АВ болғанша қозғайтын боламыз. Бұл мысалы DEB сызығы, демек DE сызығы екі еселенген АВ сызығы болып табылады. Ендеше DBC бұрышы АВС  бұрышының үштен бір бөлігі. Міне оның суреті

[12 – сурет].

Доғаны тең үш бөлікке бөлу туралы. Егер ол ABD доғасын тең үш бөлікке бөлу керек десе, онда осы доға орналасқан дөңгелектің центрін табамыз. Бұл Е нүктесі болсын. А мен Е–ні, Е мен D– ны қосып, ABCD доғасын В мен С нүктелерінде қиып өтетін ЕВ және ЕС сызықтарымен AED бұрышын үш тең бөлікке бөлеміз. Сонда ABCD доғасы үш теңбөлікке АВ, ВС және СD доғаларына бөлінетін болады. Міне оның суреті [13 – сурет].

Екі еселенген басқа үйге немесе шарға тең  немесе басқа қатынаста алынған үй немесе шар салу туралы. Егер ол ұзындығы, ені, биіктігі өзара тең екі еселенген басқа үй болып табылатын квадрат үйді салу керек болса немесе басқа екі еселенген болып келген шарды салу, немесе қақбөліп немесе басқа бір қатынастарда болып табылатын шарды қалай салу керек десе, онда үй ұзындығына және шар диаметріне тең АВ сызығын тұрғызамыз, екі еселенген  тікбұрыш бойынша  АВ  сызығына АС сызығын салып, DABC жазық фигурасын толықтырамыз. AD мен ВС диагоналдарынжүргіземіз. Олар F нүктесінде қақ бөлінеді. Олардың бағытында DC мен DB сызықтарын созамыз. Cызғыштың шетін  А  нүктесіне қоямыз да оны GC және EB  сызықтары бойынша [ол оларды Е және G нүктелерінде қиылысқанша] GF пен FE тең болатындай болғанша қозғайтын боламыз.  Сонда үйдің ұзындығы немесе шардың диаметрі ВЕ сызығы болады.  Міне оның суреті [14 – сурет].

Өртегіш айна жасау туралы. Егер біз күн сәулелерінің көмегімен бір қашықтықтан затты өртейтін айнаны жасағымыз келсе, онда алдымен айнаны айқындайтын (лекало) даяр үлгісін жасайық. Ол үшін  дөңгелек салайық, оның жарты диаметрі өртегіміз келетін заттың ара қашықтығының шамасына тең. Бұл АВС дөңгелегі болсын. Оның ADC диаметрін жүргізейік. DC сызығына С  нүктесінен бірнеше тең кесінділер салайық. Бұл кесінділер кіші болған сайын даяр үлгі жақсырақ және дәл болады. Бұл кесінділер CF, FH, HG, GE және ED болсын. D нүктесіарқылы [CD–ға] тікбұрыш бойынша E, G, H және F сызықтарын жүргізейік те оларды екі жағына да B, I, K, L және М нүктелеріне дейін созайық. C мен В, С мен I, С мен K, С мен L, С мен М нүктелерін қосайық. CM сызығына тең FN сызығын, CL–гетең HX, CK–ға тең GO, CI–гетең EP және СВ–ғатең DS сызығын салайық. C, N, X, O, P және S нүктелерін қосайық та осы сызық бойынша даяр үлгісін (лекало) жасайық. Сосын металдан, мысалы темірден, қоладан, мыстан немесе цинктен айна дайындайық та,  егер мүмкін болса оны ысып жалтыратайық. Егер айна қисық болып шықса, оны даяр үлгісі бойынша даяр үлгіні айнаға С нүктесідаяр үлгінің ортасына дәл келетіндей айнаның даяр үлгі мен беттесуіне қол жеткізетіндей етіп даяр үлгіні айнаға беттестіріп түзетеміз. Сонда үлкен өртегіш күші  бар өртегіш айнаны аламыз. Міне оның суреті [15 – сурет].

Өртегіш айна жасаудың екінші тәсілі.  Егер оны біз жасағымыз келсе, онда кез келген қашықтықты [оның жартысы АВ сызығы болсын] аламыз да, оны С нүтесінедейінгі оның бағытына созамыз. В нүктесіне ВС–ға перпендикуляр  DB  сызығынқарама–қарсы екі жағына да орнатайық та, ВС сызығына өзара тең кіші сызықтарды BE, EG, GH және HC салайық. F нүктесінде АЕ–ні қақ бөліп, F центрінен FA  қашықтықта дөңгелек сызайық. Ол BD сызығын I нүктелеріндеқияды. I нүктелерінен AC сызықтарына параллель IL сызықтарын жүргізейікте  Е нүктесінен BD сызығына параллель сызықты L нүктелеріне дейін жүргізейік. Сосын AG сызығын М нүктесінде қақ бөліп, М нүктесінен  МА қашықтықта дөңгелек сызамыз. Ол BD сызығын N нүктелеріндеқияды. N нүктелерінен АС сызығына параллель NX сызықтарын Х нүктесіне дейін жүргіземіз. Сосын  АН  сызығын О нүктесінде қақ бөліп, О центрінен ОА қашықтықта дөңгелек сызамыз. Ол BD сызығын Р нүктелерінде қияды. Р нүктелерінен ВС–ға параллель Z нүктелеріне дейін сызықтар жүргізейік. B, L, X және Z нүктелерін сызықпен қосып, даяр үлгі аламыз. Егер біз даяр үлгіні тексеретін болсақ, оны В нүктесін айнаның ортасына орналастырамыз. Сонымен біз үлкен өртегіш күші бар өртегіш айна аламыз.  Міне оның суреті [16 – сурет].

3. Теңқабырғалыфигураларды салу туралы

[І] Үшбұрышты салу туралы. Егерол АВ сызығына теңқабырғалы үшбұрышты қалай тұрғызамыз десе, онда центрлер ретінде А мен В нүктелерінің әрқайсысынан АВ қашықтықта дөңгелек сызамыз. Олар С нүктесінде қилысады. С нүктесін А және В нүктелерімен СА және СВ түзусызықтарымен қосайық. АВС² теңқабырғалы үшбұрышы шығады. Міне оның суреті [17 – сурет].

[17 – сурет].

[ІІ] Шаршы салу туралы. Егер ол АВ сызығына теңқаб ырғалы [және теңбұрышты] төртбұрышты қалай тұрғызамыз десе, онда А мен В нүктелерініңәрқайсысына перпендикуляр өзаратең АВ сызықтарын орнатамыз. Ол – АС мен ВD сызықтары. С мен D–нықосып  теңқабырғалы [және теңбұрышты] ABCD   төртбұрышын аламыз. Міне оның суреті [18  – сурет].

[18  – сурет].

[ІІІ]  Бес бұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығында тең қабырғалы бесбұрышты қалай тұрғызайық керек десе, онда В нүктесіне АВ–ғатең ВС перпендикулярын орнатамыз. АВ [сызығын] D нүктесінде қақ бөліп, D нүктесін центріретінде DC қашықтықта CE доғасын сызамыз да, АВ сызығын Е нүктесіне дейін созамыз. Сосын А мен В нүктелерінің әрқайсысын центрі ретінде алып АЕ қашықтықта доғалар сызамыз. Олар G нүктесінде қиылысады. AG және BG  сызықтарын жүргізейік. ABG үшбұрышын – бесбұрыштың үшбұрышын аламыз. Бұл көптеген салуларда қажет болады. Содансоң А мен G нүктелерін центрлер ретінде алып АВ қашықтықта доғалар сызамыз; Олар Н нүктесінде қиылысады. Сосын центрлері ретінде В мен G нүктелерінен F нүктесінде қиылысатын доғалар сызамыз.  AH, HG, GF және FB сызықтарын жүргізіп, теңқабырғалы, теңбұрышты ABFGH²⁴ бесбұрышын аламыз. Міне оның суреті [19 – сурет].

[IV] Егер ол АВ сызығына тең циркуль ашасымен ғана, оның күйі өзгермейтіндей етіп  АВ сызығына теңқабырғалы бесбұрыш тұрғыз десе, онда АВ сызығына оған перпендикуляр АВ сызығына тең ВС сызығын орнатамыз.  АВ сызығын D нүктесінде қақбөліп, С–мен қосамыз да  D нүктесін центр ретінде алып, АВ қашықтықта DC сызығында I нүктесінбелгілейміз, DI–ді K нүктесінде қақбөліп, АВ сызығын Е нүктесінде қиып өтетін K нүктесіне KE перпендикулярын тұрғызамыз. Ары қарай  А мен Е нүктелерінің әрқайсысынан центрлері ретінде АВ қашықтықта доғалар сызамыз. Олар М нүктесінде қиылысады. ВМ–ді жүргізіп, оны G–ға дейін оның бағытын дасозамыз да MG–ді АВ сызығына тең етеміз. А мен G –ді қосамыз. А мен G–ді центрлер ретінде қабылдап АВ қашықтықта Н нүктесін белгілейік. B мен G нүктелерін центрлер ретінде қабылдап АВ қашықтықта А нүктесінбелгілейік. AH, HG, GF және FB сызықтарын жүргізейік. Теңқабырғалы AFBGH  бесбұрышы шығады. Міне оның суреті [20 – сурет].

[V] Алтыбұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына теңқабырғалы және [теңбұрышты] алтыбұрыш тұрғыздесе, онда ол үшін теңқабырғалы АВС үшбұрышын тұрғызамыз. АС мен ВС сызықтарын олардың бағыттарында Е мен G нүктелеріне дейін созайық. ВС–да тағы бір теңқабырғалы ВСD үшбұрышын тұрғызайық. DC сызығын оның бағытында Н нүктесіне дейін созып, СЕ, CG және СН сызықтарын СА сызығына тең етеміз де DE, EG, GH  және  НА  сызықтарын жүргіземіз. Теңқабырғалы және теңбұрышты ABDEGH  алтыбұрышы шығады. Міне оның суреті [21 – сурет].

[VI] Сегізбұрышты салу туралы. Егерол АВ сызығына тең қабырғалы сегізбұрышты қалайтұрғызу керек десе, онда АВ–ны оның бағытында С мен D нүктелерінедейінсозып А мен В нүктелерінің әрқайсысы үшін тікбұрыштың жартысына тең  ЕАС және GBD бұрыштарын саламыз. АЕ және BG сызықтарының әрқайсысын АВ сызығынатең етіп алып Е мен G нүктелерінің әрқайсысынан DC сызығына ЕС және GD перпендикулярын түсіреміз де CHKD шаршысын толықтырамыз. HI, HF, KL және KM сызықтарының әрқайсысын СЕ сызығынатең етіп алып I және F,  L және M–діқосамыз. Теңқабырғалы ABGMLFIE сегізбұрышы шығады. Міне оның суреті [23 сурет].

[VIІ] Егер ол  АВ сызығына тең циркуль ашасымен ғана, оның күйі өзгермейтіндей етіп  АВ сызығына теңқабырғалы сегіз бұрыш тұрғыз десе, онда АВ сызығына теңқабырғалы және теңбұрышты ABCD төртбұрышын тұрғызып, СА және BD сызықтарын жүргіземіз де олардың бағыттарында Е және G нүктелерінедейінсозамыз. АЕ мен BG сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең етіп алып EG–ны қосамыз, EG сызығына АВ сызығына тең [EI және GM] перпендикулярларын орнатамыз да M және I–ді қосамыз. ЕІ мен GM сызықтарының әрқайсысын олардың бағыттарында К және Н нүктелеріне дейін созамыз да  IMK және MIH бұрыштарының әрқайсысын MLF сызықтарымен қақ бөлеміз. ML және ІF сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең етіп алып FL–ді қосайық.  Теңқабырғалы теңбұрышты ABGMLFIE  сегізбұрышы шығады. Міне оның суреті [24 сурет].

[ІIX] Тоғызбұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына теңқабырғалы және теңбұрышты тоғыз бұрыш тұрғызу керек десе, онда центрі G нүктесіболатын кез-келген өлшемді  CDE дөңгелегін сызып, ондағы С нүктесінбелгілеп оны центр ретінде қабылдайық та дөңгелектен жарты диаметрлік қашықтықта Е мен D нүктелерінбелгілейік. DE доғасын тең үш бөлікке бөлейік. Сондай доғаның бірі EH болсын. EG, EH және HG сызықтарын жүргізіп, EG мен HG сызықтарының арасында АВ сызығынатеңжәне ЕН сызығына параллель FI сызығын саламыз. А мен В нүктелерін центр ретінде қабылдап FG қашықтықта К нүктесінде қиылысатын дөңгелектер сызайық. К нүктесін центр ретінде қабылдап KА қашықтықта ABL дөңгелегін сызамыз. ABL доғасын теңсегіз бөлікке бөліп, олардың бөліну нүктелерін хордалар мен қосайық. АВ сызығында тең қабырғалы және теңбұрышты тоғыз бұрыш шығады. Міне оның суреті [25 – сурет].

Қорытынды

Қазақ  даласынан әлемдік математи­калық ілімнің биігіне көтерілген ұлы баба­мыздың ұрпақтары да жаһанға танылып жүр. Бүгінде Қазақстан матема­тиктерінің есімі дүниежүзіне мәлім. Олар халық­аралық конференцияларда математика ғылымының әрсаласы бойынша баяндамалар жасап, оның теориясы мен практикасы туралы тұжырымды ойлар айтып жүр. Демек, әл-Фарабиден тараған ілім ұрпағымен жалғасын тауып жатыр.

Математика – бар ғылымның бастауы. Орта ғасырдың ұлы шайыры Омар Хайямның мына бір әфсанасы бар: «Ақымақ махабатты қоялықты, математикамен айналысайық».

Иә, қазірҚазақстан математиктерін дайындайтын екі ұлы шаңырақ бар. ОларӘл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттықуни­вер­ситеті мен Абай атындағы ұлттық педа­гогикалық университеті. Аты әлемге танымал екі университетте де механика-математика факультеттері бар. Екеуі де – әл-Фараби ұрпақтарын тәрбиелеп жүрген математиктердің құтты шаңырағы.

Осындай жұмыстар болғанына қара­мастан, жас ұрпақты ілім-білімге, ғылым­ның жауһарларына қызықтырып, оларға рухани, патриоттық білім-тәрбие беру мақсатындаәл-Фараби баба­мыздың ең­бек­терін, мұрасын оқу бағ­дар­лама­лары­на енгізіп, оқу құралы ретін­де пайдалануға арналған ғылыми-әдіс­темелік зерттеулер мен шаралардың әлі де жеткіліксіз екендігіне назар аударамыз.

Әл-Фарабидің еңбектерін білім беруде пайдалануға дайындап, оқу бағдар­ламаларына енгізуге арналған жүйелі ғылыми-әдістемелік зерттеулер жүргізу заман талабы. Сол себепті келесі шаралардыі скеасыру қажет деп санаймыз:

Ұлтымыздың ұлы перзенті, Қазақстан­ның Тұңғыш Президенті, Елбасы елдің ұраны білім мен ғылым екендігіне ерек­ше назар аударды. Таланттықыз-жігіт­тердіоқытудың реформасын жасады және жүзеге асырды. Соның ішінде математикаға ерекше назар аударды. Өйт­кені Елбасы математиканы бар ғы­лым­ның бастауы, өрлеу ренессансы деп бағалады. Міне, Әл-Фараби идеясы жаңа заман мінбелерінен айтылып жатыр. Демек, ұлы баба ілімі өміршең деген сөз!