Мақсаты: Есептерді граф арқылы шешу тәсілдерін зерттеп, көрсету.
Міндеттері: 1. Есептерді граф арқылы шешу бойынша зерттеу жұмыстарын жүргізуді анықтау.
- Оқушылардың қызығушылығын арттыру үшін есептерді граф арқылы шешу арқылы ой-өрістерін дамыту.
Мәселе: Қарастырып отырған тәсілдер арқылы есептерді граф арқылы шешу тәсілдерін тереңірек қарастырып, әр түрлі модельдерін құрастыру.
Күтілетін нәтиже: Есептерді граф арқылы щещу тәсілдерін пайдалана отырып математика пәніне деген қызығушылығын арттырады, логикалық қабілетін дамытады.
«Есептерді граф арқылы шешу» тақырыбы бойынша көптеген нүктелерді жүргізе отырып, әр түрлі фигураларды құрастырамыз. Соның салдарынан «граф» ұғымы пайда болған. «Граф» деп кез келген нүктелерді, яғни олардың түзумен немесе бағыттауыштармен (стрелка) байланысқаны. Көптеген элементтерді бейнелейтін нүктелерді «граф шыңы» деп атайды. Егер бағыттауыштардың басы мен соңы теңессе, онда оны дәнекер деп атайды.
Граф теориясы математиканың логика, комбинаторика, тағы басқа салаларында қолданылады. Сондықтан бұл тақырыпты мектепте оқыту жалпы білім беретін, мәдениет танытатын, математикалық мән-мағынасы ерекше. Күнделікті өмірде көптеген графикалық иллюстрацияларды, геометриялық елестерді және тағы басқа көптеген тәсілдер пайдаланылады.
Оқушыларға әрбір логикалық пікірдің дәмін сезіне білу керек және бұл жерде графтарды қолдану логикаға назарын аударуға көмектеседі. Графтардың түзулері қабырғалары деп, ал нүктелері төбелері деп аталады. Графтардың төбелері тек нүктемен ғана емес, сонымен қатар, дөңгелектермен немесе басқа да фигуралармен берілуі мүмкін.
Оқушы граф арқылы есеп шығара отырып, өзінің логикасын дамытады. Есептерді граф арқылы шешуді есеп шығару кезінде қолдана білсе, онда олардың пәнге деген қызығушылығы артады.
«Граф» сөзі математикалық әдебиетте жаңадан пайда болған ұғым. Сонымен қатар, граф тек қана математикада ғана қолданылып қоймай, тіпті техника мен күнделікті өмірде де басқа атаулармен (схема, диаграмма, т.б.) кездеседі.
Әсіресе, граф көптеген логикалық есептерді шығаруда көмектеседі. Графтар есептерді немесе олардың шығару жолдарын адам есіне лезде сақтап алуы үшін де қолданылады.
Логикалық есептер адамның ойлау қабілеттілігін арттырады.
Кенигсберг көпірі жайындағы есепті алғаш рет Л.Эйлер (1707 – 1783) графтар теориясы арқылы қарастырады. Бұдан 100 жыл өткен соң әсіресе Англияда жаратылыстану ғылымының барынша әр түрлі формадағы саласында графтар теориясы қолданыла бастады. Электр тізбегі мен кристалл моделін молекуланың структурасын зерттеуге, сондай-ақ ойындар теориясы мен программалауда, биология мен психологияда кеңінен қолданылады.
Графтар арқылы есептерді шешуге мынадай мысалдарды қарастыратын болсақ:
1 – есеп: Дүйсенбі күнгі сабақ кестесін құру кезінде үш мұғалім мынадай өтініш айтты: 1) математика бірінші не екінші; 2) тарих бірінші не үшінші; 3) әдебиет екінші не үшінші болсын. Қанша тәсілмен мұғалім өтінішін орындауға болады?
Шешуі: Математика, тарих, әдебиеттің бас әріптерінен бір жиын, сабақтардан 1, 2, 3 – деген ретінен екінші жиын құайық (1 – сурет)
Математиканы 1 – сабаққа ( онда ол 2–ші бола алмайды) қойсақ, онда тарих тек үшінші ғана болады, тарих 1-ге қойылмайды, онда әдебиет 2-ші сабаққа қойылған болады, ол 3-ші сабаққа қойылмайды. Сонымен, математика – бірінші, әдібиет – екінші, тарих – үшінші болады.
1 – сурет
Теңдеуді граф арқылы шешу, яғни бұл бағытталған граф болып табылады.
2 – есеп: Мен бір сан ойладым. Сол санға 24 қоссақ, одан шыққан санды 9-ға көбейтсек, сосын 76-ны алсақ, ендігі шыққан санды 19-ға бөлсек, онда 23 шығады. Ойлаған санды табайық.
Шешуі:
Графты құрайық. Енді осы сандарды керісінше амалмен шығарайық (2 – сурет)
Cонымен ойлаған санды таптық – 33.
3 – есеп: Бірнеше ұл балалар вокзалдың алдында кездесті. Олар бір-бірімен қол ұстасып амандасты. Егер 10 қол амандасып ұстасса, онда қанша ұл бала қалаға кетті?
Шешуі: Осы есепті граф арқылы шешеміз. Ең алдымен қағазға екі нүктесін белгілейміз. А мен В және оларды қосайық. Нүктелерді балалар деп, ал кесіндіні балалардың қол ұстасқаның деп есептейік. Тағы бір С нүктесін А мен В нүктелерімен қосамыз. Оларға тағы бір Д нүктесін қосамыз. Енді алты кесінді шықты. Енді бес нүктенін белгілеп, А, В, С, Д нүктелерімен қосамыз. Сонда 10 кесінді шықты. Яғни вокзалда 5 ұл бала кездесіп, қол ұстасып амандасты.
Математикада ешбір математикалық ережелерді немесе теоремаларды қолдануға келмейтін, тек ойлау арқылы шығарылатын есептер деп аталады. Осындай логикалық есептерді, математикалық басқатырғыларды шешуде графтар қолданылады.
Граф деп қандай да бір берілген пункттерден сызықтар системасын айтамыз, яғни әуелі біз берілген объектілерді нүктелер арқылы кескіндейміз, оларды берілген шарттар арқылы кескінділермен қосамыз, нүктелер мен кесінділер арасында операциялар орындаймыз.
Графтар теориясы бас қатырғыларды шешумен байланысты ХVIII ғасырда туды. Графтар теориясынан ең бірінші еңбекті белгілі швед математигі Эйлер 1736 жылы жазды. Әуелгі кезде бұл теория тек топологияның өркендеуіне байланысты графтар теориясы математиканың бір саласы ретінде ең алғаш ХХ ғасырдың 30 жылдарында венгер математигі Кенигтің еңбегінде айтылады.
«Есептерді граф арқылы шешу» атты тақырыбын зерттей отырып, мен мынадай қорытындыға келдім: жалпы зерттеген жұмысыма граф ұғымын енгіздім, себебі, граф ұғымы менің зерттейтін тақырыбыма тікелей байланысты болғандықтан.
Графтың, яғни нүктелердің математика саласындағы алатын орны ерекше. Себебі, графтың логикалық ой қабілеттілігін арттыруда үлкен үлес қосады. М.И.Калинин «Математика ойлауды тездетіп, логикалық ойлауға үйретеді» және «Математика – ой гимнастикасы» деп бекер айтпаған.
Логикалық есептердің мағынасын оқушыларға түсіну қиын. Оны түсіну үшін граф ұғымы көп дәрежеде мүмкіншілік береді.
Сонымен қатар, граф ұғымы тек математика саласында ғана емес тіпті күнделікті өмірде де және техникада да басқа да атаулармен қолданылады. Және де графпен біздің өміріміз тікелей байланысты. Мысалы: біз үй салғанда, үй-жиһаздарын жасағанда, логикалық есептерді шешкенде графты қолданамыз.
Менің ұсынымым: осы жобадағы жазылған есептерді, мысалдарды әрі қарай дамытып, кітапшалар шығарсам деймін.
Қазіргі математикада графтар теориясы математиканың тез өркендеп келе жатқан саласы. Графтар қазір пландау және басқару теориясында, лингвистикада, электроникада, программалауда қолданылады. Сол себептен мен осы тақырыпты қозғап, әрі қарай дамытқым келеді.