Реферат
Тақырыбы: Жиын
КІРІСПЕ……………………………………………………………………………………………… 5
- ЖИЫН ҰҒЫМЫ ………………………………………………………………………………. 6
1.1 Жиын ………………………………………………………………………………………………… 6
1.2 Жиын түрлері. Жиынның берілу тәсілдері ………………………………………….. 9
- БУЛЬ ФУНКЦИЯСЫ ……………………………………………………………………… 12
2.1 Буль функцияларының тұжырымдар формулаларымен өрнектелуі ……. 12
- ЭКВИВАЛЕНТТІК ЖӘНЕ РЕТТІК ҚАТЫНАСТАР ………………………. 12
3.1 Эквивалентті қатынастар …………………………………………………………………… 14
КІРІСПЕ
Курстық жұмыстың өзектілігі: Курстық жұмысқа берілген тақырыпты толық түсініп, меңгеру және зерттеу. Мысалдар келтіріп, есептер шығару. Тақырыпқа қатысты мәліметтер жинау.
Курстық жұмыстың мақсаты. Жиын. Жиын түрлері және Буль функциясы туралы білімін жақсарту және қалыптастыру. Негізгі мақсаты – математикалық логиканыың негізгі ұғымдарын және оның әртүрлі салаларда қолданылуын оқып білу, классикалық және қазіргі математиканың негізгі ұғымдарын, заңдарын теорияларын, сонымен қатар ғылыми әдебиеттерді қолдану. Пәнді еркін меңгеру және мазмұнын түсіну.
Курстық жұмыстың міндеті. Әрбір параграфтан кейін есептер шығарылып көрсетілген. жұмыс екі тараудан, кіріспеден және қорытындыдан тұрады. Соңында пайдаланған әдебиеттер тізімі келтірілді.
ЖИЫН ҰҒЫМЫ
1.1 Жиын.
Жиын — математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Жиын немесе жиынтық ұғымы қарапайым математикалық ұғымға жатады. Сондықтан Жиын ұғымының анықтамасы берілмейді. Ол аксиомалық жолмен енгізіледі. Дегенмен Жиынды мысалдар арқылы түсіндіруге болады. Бір мектеп оқушыларының, берілген шеңбер нүктелерінің, берілген теңдеу шешімдерінің, т.б. табиғаты әр түрлі Жиындары туралы айтуға болады. Мұндағы оқушылар, нүктелер, шешімдер, т.б. қарастырылып отырған Жиындардың элементтері деп аталады. Әрбір нақты Жиын өз элементтерінің бәріне тән жалпы қасиеттері (белгілері) бойынша бірігеді. Сондықтан Жиынды анықтау үшін тек осы Жиынның элементтеріне тән жалпы қасиеттерді көрсету жеткілікті. Мысалы, барлық бүтін сандар Жиынын құрайтын сандарға (элементтерге) ғана тән жалпы қасиет — олардың (элементтердің) әрқайсысының бүтін сан болатындығы. Бір де элементі болмайтын Жиын бос жиын деп аталады. Егер А Жиынының әрбір элементі В Жиыныныңда элементі болса, онда А Жиыны В Жиынының ішкі жиыны немесе бөлігі деп аталады. Бос Жиын кез келген Жиынның ішкі Жиыны болып есептеледі. Берілген В Жиынының, өзінен басқа, кез келген бос емес А ішкі Жиыны осы В Жиынының дұрыс бөлігі немесе меншікті ішкі жиыны деп аталады. Элементтерінің саны шекті не шексіз болуына байланысты Жиын да шекті жиын не шексіз жиын делінеді.
Жиындар теориясы – жиындардың (көбінесе шексіз жиындардың) жалпы қасиеттері жөніндегі ілім. Шексіз жиындарды сандық түрде салыстыру мүмкіндігі туралы мәселе жиындардың шешілуге тиісті ең алғашқы мәселесі болды. Бұл мәселеге 19 ғ-дың 70-жылдары неміс математигі Г.Кантор (1845 — 1918) жауап берді. Жиындарды сандық түрде салыстыру мүмкіндігі екі жиынның арасындағы өзара бір мәнді сәйкестік ұғымына негізделген. Қандай да бір ереже не заң бойынша А жиынының әрбір элементіне В жиынының белгілі бір элементі сәйкес қойылсын. Бұл ретте, егер В жиынының әрбір элементі А жиынының тек бір ғана элементіне сәйкес қойылса, онда А және В жиындарының арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнатылған делінеді. Бұл жағдайда саны бірдей элементтерден құралған екі шекті жиынның арасында бір мәнді сәйкес орнатуға болатыны өзінен-өзі түсінікті. Осы факті екі шексіз жиынның арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнату мүмкіндігінің болатындығын көрсетеді. Өзара бір мәнді сәйкестік орнатылған екі шексіз жиын бір-біріне эквивалентті (сан жағынан) немесе олардың қуаттары бірдей делінеді. Әрбір шексіз жиынның оның өзімен қуаты бірдей дұрыс бөлігі болады және ол оңай дәлелденеді. Бұл шарт шекті жиын үшін орындалмайды. Сондықтан бүтін сандар жиынымен қуаты бірдей шексіз жиынның дұрыс бөлігін шексіз жиынның анықтамасы ретінде алуға болады.
А және В екі шексіз жиын үшін мынадай үш жағдай орындалуы мүмкін:
1) не А жиыны В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік, бірақ В жиынында А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік жоқ;
2) немесе, керісінше, В жиыны А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік, бірақ А жиынында В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік жоқ;
3) немесе, ақырында, А жиыны В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік және В жиыны А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік. Үшінші жағдайдағы А және В жиындарының тең қуатты екендігін дәлелдеуге болады. Бірінші жағдайда А жиынының қуаты В жиынының қуатынан үлкен, екінші жағдайда В жиынының қуаты А жиынынан үлкен делінеді.
Жиындар қуаты ұғымының маңызы қуаты тең емес шексіз жиындардың болуымен анықталады. Мысалы, берілген М жиынындағы барлық ішкі жиындар жиынының қуаты М жиынының қуатынан үлкен болады. Барлық натурал сандар жиынына тең қуатты жиын саналымды жиын деп аталады. Саналымды жиынның қуаты — шексіз жиын қуатының ең кішісі. Кез келген шексіз жиынның саналымды дұрыс бөлігі болады. Кантор барлық рационал сандар мен алгебралық сандар жиындарының саналымды жиын, ал барлық нақты сандар жиынының саналымсыз жиын екендігін дәлелдейді. Барлық нақты сандар жиынының қуаты континуум қуаты деп аталады. Саналымды жиындардың барлық ішкі жиындарының жиыны, барлық комплекс сандар жиыны, т.б. барлық нақты сандар жиынымен тең қуатты. Кантор нақты сандардан құралған кез келген жиын: не шекті жиын, не саналымды жиын не барлық нақты сандар жиынына тең қуатты жиын болады деп жорамалдады (континуум-жорамал). Жиындар теориясында функцияның аналитикалық түсінігі, фигураны түрлендірудің геометрикалық түсінігі, т.б. белгілі бір жиынды басқа бір жиынға бейнелеу сияқты жалпы ұғымға біріктіріледі. Жиындармен қарапайым амалдар (қосынды не біріктіру, қиылысу, толықтауыш, айырма) жүргізуге, сондай-ақ, олардың реттілігін анықтауға болады. Жиындар теориясы қазіргі математиканың дамуына зор ықпал етті. Жиындар теориясы нақты айнымалы функциялар теориясының, жалпы топологияның, жалпы алгебраның, функционалдық анализдің іргетасы болып есептеледі. Жиындар теориясының негізін чех математигі Б.Больцано (1781 — 1848), неміс математиктері Кантор мен Р.Дедекинд (1831 — 1916) салды.
Жиындар теориясының негзін ең алғаш рет чех философы математика ғылымының маманы логика ғылымының маманы технология профессоры Бернардо Больцаномен (1781-1848) неміс математигі Рихард Дедекиндпен (1831-1916) және неміс математигі Галл университетінің профессоры (1972ж)Георг Кантор өңдеген.Г.Кантор жиындар теориясына айрықша көңіл бөліп ерекше үлес қосқан сол себепті жиындар теориясы оның атымен тығыз байланысты.Жиындар теориясы арнайы 1897ж мойындалған.
Жиындар теориясына алғашқы болғандықтан, оған нақты анықтама беру мүмкін емес.
1.2 Жиын түрлері
Жиындар теориясының негізін ең алғаш рет чех философы математика ғылымының маманы логика ғылымының маманы технология профессоры Бернардо Больцаномен (1781-1848) неміс математигі Рихард Дедекиндпен (1831-1916) және неміс математигі Галл университетінің профессоры (1972ж)Георг Кантор өңдеген.Г.Кантор жиындар теориясына айрықша көңіл бөліп ерекше үлес қосқан сол себепті жиындар теориясы оның атымен тығыз байланысты.Жиындар теориясы арнайы 1897ж мойындалған.
Жиындар теориясына алғашқы болғандықтан, оған нақты анықтама беру мүмкін емес.
Георг Кантор жиындар теориясына қандай мағына енгізгені жайлы келесі бір сөздерінен байқауға болады.
«Жиындарды біздің түйсік пен ойымызбен жақсы айырылатын нысандардың бір жалпыға бірігу деп түсінеді».
«S жиынын бір бүтін түріндегі анықталған және бір-бірінен ерекшеленетін нысандардың кез-келген жиналысы деп түсінеміз».
Жиындар құралатын объектілер сол жиының элементі деп аталады. А элементіне тиісті Р жиыны былай
жазылады: аР мұнда -тиісті белгі.
Бұл жазу келесідей оқылады « А элементі Р жиыныҚҚ » немесе « P a элементінің жиыны болып табылады» немесе« а элементі Р жиынына тиісті».
Р жиынына тиісті бірнеше элементті көрсету керек болған кезде олардың барлығын белгісінің алдына қояды.
Мысалы a, b, cP жазбасы a P, және b P, және cP екендігін корсетеді.
Егер де а элементі Р жиынына тиісті болмаса былай жазылады a ∉ P.
Егер де Р жиынына бірнеше элемент тиісті болмаса мысалы a, b, c, ондай келесідей жазылады a, b, c ∉ P.
Жиынның құрамында кез келген элемент саны болуы мүмкін,шекті және шексіз.
Бірде бір элементке ие болмаған жиын бос жиын деп аталады және келесідей белгімен көрсетіледі Ø.
Бір элементке ие болған жиын синглетон деп аталады.
Жиын тапсырмаларының тәсілдері:
а. элементінің тура жолын анықтау арқылы .Мыалы: P = {a, b, c, d} жазбасы Р жиыны төрт элемменттен a, b, c, d тұратындығын көрсетеді;
б. сәйкесінше ондағы кез келген объект жиынға кіретіндігін немесе кірмейтіндігін арнайы тұжырымдалған ереже немесе құрам көмегі арқылы анықтайды.Мұндай ережені P(х) формасы деп атайды. P(х) формасы арқылы берілген жиын A={x/P(x)} турге ие болады.Мысалы ,ондық санның жиының келесі турде көрсетуге болады: P = {x / 0 ≤ x ≤ 9 ∧x — бүтін сан}.
Мұнда қисықтан сол жаққа Х айнымалының сипаты жазылған,ал оң жақта Х-тың қандай мәндері Р жиына тиісті элементтерді құрайтының немесе құрамайтындығын көрсететін ереже P(x) формасы.
Бұл жазба былай оқылады:Р жиыны- нөлден артық немесе нөлге тең бірақ тоғыздан кем немесе тең бүтін сан болып табылатын Х-тың барлық мәндері.
∧ белгісі И байланысын көрсетеді.Оның орнына И байланысын көрсететін & белгісін де қоюға болады:
P = { x / 0 ≤ x ≤ 9 & x — бүтін сан};
∧ және & логикалық белгісінің орнына үтір немесе үтір нүкте қойылатын жазба да қолданылады.
P = { x / 0 ≤ x ≤ 9, x — бүтін сан};
P = { x / 0 ≤ x ≤ 9; x — бүтін сан }.
P(x) формаcынан Х айнымалысын бөлетін қисық сипаттынын орнына әдебиетте тура сипат, сонымен қатар нүкте кездеседі:
P = { x | 0 ≤ x ≤ 9, x — бүтін сан};
Егер жиын бірыңғай бірдей элементтерден құралса ол тең жиын деп аталады.Мысалы: {a, b, c, d} = {b, c, a, d}.
Бұл жиынның элементтері түрлі тізбектілікте жазылған,бірақ элементтер терімі сәйкес келеді,сондықтан жиындар тең,жиындар құраушы элементтер жазбасының реті мағынаға ие емес.
Жиындарды көрсету үшін барлық жағдайда кез-келген белгіні пайдалануға болады, бірақ негізінде латын алфавитінің әріптері арқылы көрсетеді.
Кез келген жиын ,жиында қанша элемент бар екендігін көрсететін кардиналды сан деп аталатын шама арқылы сипатталады.
Жиындағы элемент санын көрсету үшін арасында жиынның өзі немесе мағынасы жазылатын екі вертикальді шек жиі қолданылады.
Мысалы,егер P = {a, b, c}, болса,онда кардинальді сан тең: |Р=|{a,b,c}|=3.
Бірдей кардинальді сандары бар жиын эквивалентті деп атадады.
А жиынының элементтер санын жазу үшін басқа да мағыналар қолданады.Мысалы « N(A) арқылы A жиының элементтер санын көрсетеміз».
Әр элемент жиынға бір рет ғана енгізіледі. Сол кезде келесі мысалды жиын деп санауға бола ма деген сұрақ туындайды: P = {1, 1, 2}?
Бұл үш элементтен емес тек екі элементтен құралған жиын.
P = {1, 1, 2} = {1, 2} және оның кардинальді саны екіге тең.
Егер В жиынының элементтері А жиынына тиісті болса,онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады,
Келесі екі жазбаны ажыратамыз: және,
Мұнда таңбалары өздігінен қосылу белгісін жариялайды. B ⊆ A жазбасы былай оқылады: В жиыны А жиынына қосылған,сонымен қатар А жиының өзінін де ішкі жиыны болып табылады. B ⊂ A жазбасы В жиынының барлық элементтері А жиынына кіредіндігі, ал бірақ А жиыны өзінің ішкі жиыны болмайтындығы жайлы жазылады.
Бос жиын кез келген жиының ішкі жиыны болып саналады.
Ішкі жиынның екі турі болады:меншікті және меншікті емес.Р жиынының өзі және бос жиын меншікті емес ішкі жиын деп аталады.Қалған барлық ішкі жиындар меншікті деп аталады.
Кез келген Р бос емес жиыны екі меншікті емес ішкі жиындарға ие және 2|P| – 2 меншікті ішкі жиын.
Барлық ішкі жиынның жиындарын Р жиынының булеаны деп атайды және B(P) арқылы белгілейді.
P = {a, b, c} жиынының булеаны мынадай турге ие:
Кез келген меншікті Р жиынының кардинальді саны|P| ішкі жиынынан кіші.
Бұған нақты көз жеткізу үшін, 1 кестеде көрсетілгендей әр элементке сәйкесінше екілік разрядты Р жиының қоямыз. Барлық |P|-разрядты екілік сандардың ішінде 0 ге ие емес тек бір ғана сан болады.Оған Р жиынымен сәйкеспейтін меншікті емес ішкі жиын тура келеді.Бұл санды өшіреміз.Қалған |P|-разрядты сандардың әрбіреуінде P жиынының қай элементі сәйкес ішкі жиынға кірмейтінің көрсететін тым болмағанда бір нөл болады.
Анықтама 1.1 Жиындар теориясында, нөлдің рөлін бос жиын атқарады. Бос жиын дегеніміз элементтері жоқ жиын. Бос жиынды ∅ символымен белгілейді.
Анықтама 1.2 Жиынның элементтер саны шекті болса, мысалы кластағы оқушылар саны сияқты, онда бұндай жиындарды шекті жиындар деп атайды.
Мысалы 1.1 Мына жиын шекті жиын болады B = {7, 3, 9, 180}. Себебі бұл жиында төрт элемент бар.
Анықтама 1.3 Жиынның элементтер саны шексіз болса, онда бұндай жиын шексіз жиын деп аталады.
Мысалы 1.2 Натурал сандар жиыны шексіз жиын болады, себебі натурал сандардың саны шексіз.
Нақты сандар жиыны да шексіз жиын болады. Геометриялық фигуралардың жиыны да шексіз болады.
Анықтама 1.4 Бір жиынның әрбір элементі, екінші жиынға тиесілі болса, онда бірінші жиын екінші жиынның жиыншасы деп аталады. Мысалы A = {2, 5, 7} жиыны B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} жиының жиыншасы болады. Себебі 2, 5, 7 сандары B жиынына да еңеді.
A жиынының B жиынының жиыншасы екенің, былай жазады B ⊆ A.
БУЛЬ ФУНКЦИЯСЫ
2.1 Буль функцияларының тұжырымдар формулаларымен өрнектелуі
Джордж Буль (ағылш. George Boole; 2 қараша 1815, Линкольн — 8 желтоқсан 1864, Баллинтемпл, Корк графтігі, Ирландия) — ағылшынматематигі және логигі. Математикалық логиканың алғашқы жүйесің жасап шығарды. Оның логикалық зерттеулерінің барлық бағыты айқындалған алгебра мен логика арасындағы аналогия идеясы негізінен «Логикаға математикалық талдау» (1847) және «Ой заңдылықтарын зерттеу» (1854) атты еңбектерінде баяндалған.
Анықтама 2.1 Буль (логикалық) функциясы (Булева (логическая) функция; boolean function) — ауыстырып косқыш функция, оның мүмкін болар қалып күйлерінің саны мен тәуелсіз айнымалы шарының әрқайсысы екіге тең.
Анықтама 2.2 Аргументтері де, өзі де және 1 мәндерін қабылдайтын f() функциясы Буль функциясы деп аталады. f() функциясының аргументтері сәйкес мәндерін қабылдасын . мәндер құрамасы деу атау келісілген. құрамасының ұзындығы деп аталады. Әр құрама 2-лік жүйе цифрларынан тұрады және оларға(құрамаларға) нөмір беру келісілген. Құрамаларды нөмірлерінің табиғи өсу ретімен орналастырады. Мысал:
000; 001; 010; 011; 100; 101; 110; 111; – 8 құрама
0000; 0001; 0010; 0101; 0100; 0101; 0110; 0111;
1000; 1001; 1010; 1011; 1100; 1101; 1110; 1111;- 16 құрама
Құрамалардың осылайша табиғи нөмірлерінің өсуімен орналасуын стандартты орналасу дейміз. Ұзындығы ге тең элементтен жасалған орналасулардың саны екендігі белгілі. Бұдан ұзындығы ге тең 0 мен 1 жасалған барлық функциялардың саны тең екендігін көреміз. аргументтен тұратын барлық функциялардың саны тең. 0,1-константаларын 0-орынды Буль функциясы деу керек. Әрбір логикалық функцияны сол жағында барлық -құрамалар (айнымалының мәндері ұзындығының ге тең екілік вектор), ал оң жағында осы құрамадағы функцияның мәні орналасқан кесте арқылы беруге болады.
Мысалы 2.1 3 айнымалыдан тәуелді функцияларын мына таблицамен беруге болады. Кестенің әр жолында айнымалылардың мәндерінен тұратын құрамалар және осы құрамаға сәйкес функцияның мәні орналасқан. Логикалық функцияның мәнін 1-ге тең (f=1)ететін айнымалылардың жиынтығы f – функцияның бірлік жиынтығы деп аталады. Бірлік жиын тықтар f – функцияның бірлік жиыны деп аталады Осыған ұқсас f = 0 болатын мәндер жиынтығы f – функцияның нольдік жиыны деп аталады. f (x1x2,…,xn) функция суреттегідей ақиқаттық кестемен анықталады.Егер f буль функциясы мен формуласының ақиқаттық кестелері бірдей болса, формуласы f функциясын өрнектейді деп айтамыз
Егер болса формуласындағы аргумент маңызсыз (фиктивный) деп аталады. Бұл жағдайда Шын мәнінде – айнымалыдан тәуелді, ал тен маңызсыз айнымалыны шығарып тастағаннан алынды дейді. Нөлден немесе бірден тұратын құрамалардағы 0 немесе 1 мәнін қабылдайтын f(x1,…,xn) функциясы түрақты деп аталады. f(x1,x2,…,xn) 0; f(x1,x2,…,xn) 1.
ЭКВИВАЛЕНТТІК ЖӘНЕ РЕТТІК ҚАТЫНАСТАР
2.1 Эквивалентті қатынастар
Анықтама Рефлексивті, симметриялы және транзитивті Р бинарлы қатынасы эквивалентті қатынас немесе жай ғана эквивалентті деп аталады. Эквиваленттілік Е символымен немесе ~ белгісімен белгіленеді. х Е у немесе х~у Мысалы х=у болу қатынасы кез-келген А жиынында эквивалентті қатынас. x=x–болғандықтан рефлексифті. x=yÞy=x®симметриялы.x=y, y=zÞx=z– транзитивті.
Адамдар жиынында бір қалада тұру эквиваленттік.
7 бөлгендегі бірдей қалдық болу қатынасы эквиваленттік.
R={(a,b) | a,bÎN, a/7, b/7 қалдық бірдей}R – жиындағы эквиваленттік.
Бұл қатынас (11,46 ), (14,170) жұптарына орындалады.ҚазҰТУ студенттер жиынынан бір топқа жату эквиваленттілік–эквивалентті қатынас.Айталық, М жиынында R эквиваленттілігі берілсін (R эквивалентті қатынас берілсін). Белгілі бір тәртіппен М-ң ішкі жиындарын құрайық. Ішкі жиындарды класс деп атайық.С1–класы а1ÎМ және оған эквивалентті элементтен құралсын; С2 – класы а2ÎМ және оған эквивалентті элементтерден құралсын т.с.с. осылай жалғаса берсін.С1, С2,…,Сі кластар жүйесі құралады. М жиынының кез-келген элементтері ең болмағанда бір класқа кіреді, яғни
Бұл кластар жүйесінің мынадай қасиеттері бар:Олар бөлімдер құрайды, яғни кластар өзара қиылыспайды; Бір кластағы кез-келген 2 элемент эквивалентті;Әр кластан алынған кез-келген 2 элемент эквивалентті емес.Бұл қасиеттер R қатынасының рефлексивтілік, симметриялық және транзитивтік қасиеттерінен шығады.М жиынынан осылай бөлшектеу, яғни кластар жүйесі R қатысты эквивалентті кластар жүйесі деп аталады. Бұл жүйенің қуаты бөлу индексі деп аталады.