Тұрмыстағы логикалық есептерді шешу, ғылыми жоба

Жұмыстың  тақырыбы:   Тұрмыстағы логикалық есептерді шешу

Жұмыстың  ғылыми  бағыты:     Математика

Мазмұны

1. Кіріспе  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  4

1. Негізгі бөлім _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  6

1.Тұрмыстағы логикалық есептердің түрлері, шығару, зерттеу жолдары.

III.Қорытынды  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 25

1. Пайдаланылған әдебиеттер_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _26

Кіріспе

«Математика барлық нақты

ғылымдар сөйлейтін тіл»

Н.И.Лобачевский

Математиканы оқыту арқылы мәселені талдай білуге, нақтылауға, ұғымдарды анықтауға, ой қорытулар жасауға, дәлелдеуге тағы басқа іс – жүзінде қадам сайын логикалық білім беріледі. Математиканың өмірмен байланысы анық. Біздің өміріміздегінің бәрі бір – бірімен тығыз байланысты. Тіршілік құбылыстарын бір – бірінен бөліп зерттеуге болмайды.

Математиканың басқа ғылымдармен байланысын анықтайық. Оның химиямен, физикамен, биологиямен, информатикамен тығыз байланыстылығында дау жоқ. Ал тарихпен ше? Тарих толығымен  даталардан және оған сәйкес оқиғалардан тұрады. Оларды есте сақтау үшін ойлау қабілеті  немесе оқиғалардың логикалық  тізбегін қадағалай  білу қажет. Географиямен байланысына келсек, қалалардың ара қашықтығын анықтағанда  масштаб, қолда бар карталар есепке алынады, қарапайым математикалық есептеулер арқылы қажетті деректерді алуға болады.

Әдебиетпен байланысы көз алдымызда логикалық ойлау қабілеті жақсы дамыған  адамды келтіреді. Егер ол шығарманың авторын жақсы білмесе де, оның туған жылын, дүниеден өткен жылын білу арқылы  сол уақыт арасында болған оқиғаларды  логикалық түрде ұштастыра алады.

Мұндай логикалық ойлауды логикалық және математикалық есептердің көмегімен жүргізу керек.

Логика дегеніміз –  спортшыға да, бишіге де, жазушыға да керек. Өз атыңды, сезіміңді логикалық тұрғыда жеткізе білу де үлкен өнер.

Ой – әрекетті дамыту үшін оқу материалдарына теориялық талдау жасауға, өз бетінше қорытындыға келуге айрықша мән беріледі. Өз бетімен, кітаппен жұмыс жасау оқу материалдарының қандай түрлерін есте сақтау керектігін білуге, өз бетінше білімді тәжірибеде  пайдалану дағдысын арттыруға мүмкіндік береді.

Логикалық тапсырмалар қарапайымнан басталып, біртіндеп қиындап оқушылардың танымдық қызметін жақсартады. Логикалық есептерді шығаруда шығармашылықпен жұмыс істеу әрбір оқушыға тиімді дер едім. Ең бастысы шығармашылықпен жұмыс істеген адамның өзіне және өз ісіне деген сенімі, жауапкершілігі артады, іскерлік дағдысы қалыптасады.

Математиканы оқып – үйрену, есеп шығаруды үйрену үшін ғана емес, кез – келген проблеманы шеше білуге, өз қабілетіңді жетілдіру үшін де

қажет. Біз тек сол үшін жаратылған жоқпыз, бізге ақыл – ой сол үшін берілмеген. Біз өз өмірімізді мәнді қылып, барлық жетістіктерге жету үшін табиғаттағы барлық білімді пайдалана білуіміз керек.

Міне, соның ішінде адамды тез ойлай білуге, аңғарымпаздыққа, ой ұшқырлығына жетелейтін логикалық есептердің орны ерекше дер едік. 

Логикалық есептерді шешу.

Адамның ерекше қасиеттерінің бірі  – есепті дұрыс шеше білу. Біздің мақсатымыз – әр түрлі  қиындықтағы есептерді дұрыс шығара білуге үйрену. Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. Сондықтан әрбір мектеп оқушысының алдында тұрған міндеті – қазіргі заманғы математикалық логиканың негізін түсіне білу, логикалық есептерді шеше білу. Математикалық логиканы білмейінше, оны ойдағыдай меңгеру қиын. Өйткені бүгінгі күні ғылым мен техниканың қарыштап дамуы ол адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылуда.

Арнайы формуланы қолдануға келмейтін әрқайсысына өзінше талдау жасауды қажет ететін есептерді логикалық есептер дейміз.

Логикалық есептердің саны да, шығару да тәсілдері де алуан түрлі. Математика ғылымында логикалық есептер бірнеше түрге бөлінеді,  соларға жеке – жеке тоқталайын. 

Логикалық есептерді теңдеу құрып шығару.

Есеп.

Ернеуіне дейін глицеринмен толтырылған құмырадан 2л глицеринді төгіп, қалған глицеринге 2л су қостық. Араластырғаннан кейін 2л қоспаны төгіп, қалған қоспаға 2л су қостық. Тағыда араластырып, 2л қоспаны төктік те, қалған қоспаға 2л су қостық. Осы операциялардың нәтижесінде судың көлемі глицериннің көлемінен 3л артық болды. Сонда құмырада қанша су және қанша глицерин бар?

Шешуі:

Құмыраның көлемін V деп белгілейік. Бірінші операциядан кейін (2л глицеринді сумен араластырғаннан кейін) глицерин құмыраның   бөлігін алып тұрды. 2л қоспаны төккенде құмырада (v-2)  литр глицерин қалады да, сумен толтырғаннан кейін глицерин құмыраның²  бөлігін алып тұрады. Үшінші операциядан кейін глицерин құмыраның ³   бөлігін алып тұрады да, құмырадағы глицериннің мөлшері ³   литр болады. Есептің шарты бойынша құмырадағы судың мөлшері  ³ +3 литр болады. Бұларды қосып мынандай теңдеу шығарып аламыз:

2³ +3=v немесе -9+24v-16=0;

-9+24v-16=0

(v-1)(v-4)²=0

Бұл теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктеп алдық. Бұдан V=4л екенін таптым. Өйткені есептің мазмұны бойынша V≠1л, демек   глицериннің көлемі:

³  v=4 л

³ =4³ =³==0.5 л               л (су)

Жауабы: Құмырада 3,5л (су), 0,5л (глицерин) бар.

Есеп.

Жыл басында жинақ  кассасындағы кітапшаға 1640 сом салынған еді. Жыл соңында 882 сом қайтарып алынды. Тағы бір жылдан кейін кітапшада қайтадан 882 сом боп шықты. Жинақ кассасы неше пайыз өсім қосады?

Шешуі: мына теңдеуді шешу керек:

(1640(1+)-882)( 1+)=882

1+=t; деп белгілеп аламыз

(1640t-882)t=882

1640t²-882-882=0 /:2 (бөлеміз)

820t²-441-441=0

D=441²-4*820*(-441)=1281

T_1:2=;

t₁=;

t_2=;     t-;   өсім (-) тең болмайды         t =,

1+=;

=;

2000+20x=2100

20x=100   x=5

Жауабы: Жинақ кассасы 5% өсім қосады. 

Есеп.

Бассейнге екі құбыр жүргізілген; оның біреуінен су құйылады да, екіншісінен ағып шығады. Бірінші құбырдың бассейнді толтыруы екінші құбырдың оны босатуынан гөрі 2 сағат  ұзаққа созылады. Бассейннің 1/3 бөлігі толып тұрғанда екі құбыр бірдей ашылды, сонда бассейн 8 сағаттан кейін босады. Жеке-жеке ашылғанда бірінші құбыр бассейнді неше сағатта толтырады, ал екіншісі қанша сағатта босатады?

Шешуі:

Бірінші құбырдың бассейнді жеке өзі X сағатта болса, екінші құбыр сол бассейнді (X-2) сағатта босатады. 1 сағатта бірінші құбыр бассейннің 1/X бөлігін толтырады. Екі құбыр бірдей ашылғанда 8 сағатта бассейннің 1/3 бөлігіндей су ағып шығады, ендеше,

8()=;     8()=  ;      8()=   ;          =

x²-2x=48;       x²-2x-48=0;       D=4+192=196=14

X_1:2=;                x₁=8                  x₂=-6

Жауабы: бірінші құбыр 8 сағатта толтырады, екінші құбыр 6 сағатта босатады.

Есеп.

Тауардың бағасы 25% арттырылды. Тауарды бастапқы бағасын түсіру  үшін енді неше пайызға кеміту керек?

Шешуі:

A₀(1+ ) (1- )=A₀   мұндағы A₀-тауардың бастапқы бағасы, теңдеуін шешу керек:

A₀(1+ ) (1- )=A_{0   ;}   A₀(1+ ) (1- )=A_{0   ;}        A₀( ) ( )=A_{0   ;}        A₀()=A₀  

A₀(500-5x)=400A₀  

500-5x=400

-5x=400-500

-5x=-100

x=20

Жауабы: тауарды бастапқы бағасына түсіру үшін 20%-ға кеміту керек. 

Есеп.

Бір адам жинақ кассадағы ақшаның  бөлігін, одан кейін қалған ақшаның  бөлігімен қоса 64 теңге алды. Сонда кассада қалған ақша бұрынғы ақшаның   бөлігіндей ақша қалды. Әуелде кассада барлығы қанша теңге болған.

Шешуі:

Әуелде кассада барлығы  X теңге;

Бірінші рет алғанда x- x= x;

Екінші рет алған ақшасы x ·  = x;

Тағыда 64 теңге алғанда кассада қалғаны  x теңге болды.

Есептің шарты бойынша мына теңдеуді орындаймын:

x- ( x+ x+64)=x ;          – ( x+ x+64)=x- x

– ( x+64)= -x  ;               – x -64= -x

x – x =64 ;        x =64 ;      x =64

4x=960;     X=240

Бұл теңдеуді шешу арқылы X –ты таптық, мұндағы X=240 теңге болды.

Жауабы:  Әуелде кассада барлығы 240 теңге болған.

Есеп.

Спорттық секцияға 96 адам қатынасады. Конькишілердің 0,8 бөлігін шаңғышылар, алдыңғы екеуінің 33% хоккейшілер құрайды. Әр секцияда қанша адам бар?

Шешуі:

Конькишілердің саны –  X ;

Шаңғышылар саны – 0,8x ;

Хоккейшілердің саны (0,8x+x) 33·100%= (0,8x+x)

Есептің шарты бойынша мына теңдеуді орындаймын:

0,8x+x+ (0,8x+x) =96

3x +2,4x +0,8x +x =288

7,2x=288

X=40

Конькишілердің саны – 40

Шаңғышылар саны – 0,8x=0,8·40=32

Хоккейшілердің саны –    (0,8x+x)  = x =  = 24

Жауабы:  40, 32, 24

 Есеп.

Турист  екі қаланың арасын 3 күн жүріп өтті. Бірінші күні барлық жолдың   бөлігін және 60 км, екінші күні барлық жолдың  бөлігін тағыда 20км жол жүрді. Үшінші күні барлық жолдың  бөлігін жүрді. 25км жол қалды. Екі қаланың арасын табыңдар.

Шешуі:

1-күні жүрген жол – (  x+60)км

2- күні жүрген жол – (  x+20)км

3- күні жүрген жол – (  x)км

25 км жол жүрілмей қалғандықтан есептің шарты бойынша мынандай теңдеу шешемін:

X – (  x+60+  x+20+  x) = 25;             X – (  +80) = 25

X – (  +80) = 25;  X –  –80=25;    = 105

= 105;   21x= 8400;    X=400

Жауабы:  Екі қаланың арасы 400км

Есеп.

Екі бидонда 70л сүт бар. Егер біріншісінен екіншісіне сүттің 12,5%-ын құйса, онда екі бидондағы сүттің мөлшері бірдей болады. Жеке алғанда әр бидонда қанша литр сүт бар?

Шешуі:

1-бидондағы сүттің мөлшері  X-л

2-бидондағы сүттің мөлшері  (70-x)л

2-бидоннан алынған сүт  (x –  x)л

1-бидоннан қосылған сүт (70-x + x)л

Есептің шарты бойынша

x –  x = (70-x) + x        (100-ге көбейтеміз)

100x- 25x = 7000-100x

175x=7000

X=40л

40л бұл бірінші бидондағы сүт.

Екінші бидонда 70 – x = 70-40=30л

Жауабы:  жеке алғанда бірінші бидонда-40л, екінші бидонда – 30л 

Есеп.

Ақдананың ойлаған саннан ең үлкен бір таңбалы санды азайтып, нәтижеге  ең кіші екі таңбалы санды қосқанда 100 шықты. Ақдана қандай сан ойлады?

Шешуі: сан – х

Теңдеу құрамыз :   (х-9) + 10 =100

х – 9 = 90

х = 99                 Жауабы: 99

Есеп.

Қанаттан «сыныпта неше қыз бала бар?» – деп сұрағанда, ол «қыз балалардың санынан ең кіші екі таңбалы санды азайтып, нәтижеге 80 – ді қосса, 88 шығады» деп жауап берді. Сыныпта неше қыз бар?

Шешуі: қыздар саны – х

Теңдеу құрамыз : (х – 10) + 80= 88

х – 10 = 8

х = 18                                   Жауабы: 18 қыз 

Есеп.

Ағайынды екі адамның жастарының қосындысы 30 – ға тең. Олардың әрқайсысының  жастарын табу керек, егер біреуінің жастарының   екіншісінің жасының  – не тең болса.

Белгілеу енгіземіз:

І сан – х

ІІ сан  – х

Теңдеу құрамыз : х + х = 30                  Жауабы:

2х + 3х = 180                                                І сан –  * 36 = 18

5х = 180                                                        ІІ сан –  * 36 = 12

х = 36

Жауабы:  12 жас, 18 жас

Есеп.

Қазір ағасы қарындасынан 5 жас үлкен. 4 жылдан соң, олардың жастарының қосындысы 19 жас болады. Қазір қарындасы неше жаста, ағасы неше жаста?

Шешуі:

Белгілеу енгіземіз:

қарындасы – х

ағасы – х + 5

4 жылдан соң

қарындасы – х + 4

ағасы – х + 5 + 4

Теңдеу құрамыз:     (х + 4) + (х + 5 + 4) = 19

х +  4 + х + 9 = 19

2х = 19 – 13

2х = 6

х = 3

Жауабы:      Қарындасы – 3 жаста

Ағасы – 8 жаста 

  Есеп.

Елдостың тауықтары мен қозылары бар. Қозылар тауықтардан  3 есе кем. Қозылар мен тауықтардың барлығында 40 аяқ бар. Елдостың неше қозысы, неше тауығы бар?

Белгілеу енгіземіз:

Тауық – 3х

Қозы – х

Теңдеу құрамыз: 2 х + 4х = 40

10х =40

х = 4

Жауабы:

Қозы – 4

Тауық – 12

Есеп .Теңдеуді шешіңіз

2= 0,3

0,2 – 0,02 =0,3  2

0,2 – 0,02 =0,15

0,02 =0,2 – 0,15

0,02 =0,05

0,002+ 0,0002х =0,02  0,05

0,002 + 0,0002х = 0,4

0,0002х = 0,4 – 0,002

0,0002х = 0,398

х =0,398 0,0002

х = 1990

Жауабы: 1990

Мерген.

Мерген нысанаға 10 рет атып, 90 ұпай жинады. Оның төртеуін ондыққа, сегіздікке және жетілікке тигізді. Ол тоғыздыққа нешеуін, сегіздікке нешеуін, жетілікке нешеуін тигізді?

    Аң таппаған,

    Атынан көреді.

   Ата алмаған

   Мылтығынан көреді.

Шешуі:  7 х 1 + 8 х 2 + 9 х 3 + 10 х 4 =90 болғандықтан, жетілікке біреуін, егіздікке екеуін, тоғыздыққа үшеуін, ондыққа төртеуін тигізгені

Тоғыз тарау иірімдерінің бүге-шігесін меңгеріп, зерде тезіне салып, керегенің көгіндей атқаратын қызметін түсіну, көген түймесін табу-есепті шешудің алтын балдағы. Оны көп, із кессең табасың.  Міне ,бұл қазақ халқының ауыз екі тараған есебінің артықшылығы. Қазақ халқының математикалық білімінің тамыры терең. Ол қазіргі тілмен алғанда санаудың әртүрлі жүйесін, мәселен үштік, ондық, тоғыздық пайдаланған. Тоғыздық жүйе ешбір халықта кездеспейді. Қазақтың мұра есебі – Симплекс әдісіне келсе, мүшел есебі, зекет есебі, бітір есебі, тоғыз құмалақ есебі – өз алдына бір төбе. Қазақтың қара есебі өмір қажеттілігінен туындаған. Қазақ халқының тәрбиесінің математикалық астары да түрліше.[№4, 2004 ж, математика және физика]

Олар: 1. Жұмбақ есеп

2. Өлең есеп
3. Ертегі есеп

Ғасырлар бойы даналығымен, өміршеңдігімен дәлелденген халықтық есептер  үлгілері- тәрбиенің қайнар көзі болып табылады. Қанша уақыт өтсе де маңызын жоймаған халықтың ұлттық мұрасын тәлім-тәрбиенің түп қазығына айналдыру – біздің де асыл борышымыз. Сондықтан халқымыздың ауыз әдебиетінде, ертегілерде, шешендік тапқыр сөздерінде, салт-дәстүрінде оқушылардың ақыл-ой зердесін тәрбиелеуде ұлттық мазмұнды есептер шығарудың маңызы зор.

  Қыңырдың жасы.

Есепке құмар бір кісі қыңырдан:

–  Жасың нешеде? – деп сұрапты. Сонда ол:

• Менің 3 жылдан кейінгі жасымда үш еселеңіз, содан соң 3 жыл бұрынғы жасымды үш еселеңіз. Алғашқы көбейтіндіден соңғы нәтижені шегеріңіз. Сонда менің жасымды табасыз. Ол кісі нешеде?

    Жетесінде жоқ,

    Жете сыйламайды.

Шешуі:  Қыңырдың қазіргі жасын -х десек, есеп шарты бойынша:

3(х+3) – 3(х-3) = 3х+9 – 3х + 9 =18

Тексеруі:

18+3=21;

18 – 3=15;

21 х 3 – 3 х 15 = 63 – 45 =18.

Жауабы: Қыңырдың жасы. 18-де.

Ұрылар мен кемпір

Ертеде байлардың естігінде жүріп күн кешкен, панасы жоқ жалғыз кемпір болыпты. Жаз шығып, ел жайлауға көшкенде, сүйенері жоқ кемпір жалғыз қалады. Түн ішінде кемпірдің жалғыз сиырын ұрламақ болып ұрылар келеді. Кемпір : «Ә, бұлар менің жалғыз сиырымды нысанаға алған екен, мен де бұларды алайын»,- деп ойлайды. Сөйтіп, жалма-жан бір шелек суды сапырып отырып, мынадай өлең айтыпты :

«Сапырып – сапырып Сарманға бер,

Құйып – құйып Құрманға бер,

Есіктегі екеуге бер,

Төрдегі төртеуге бер,

Өзің іш те маған бар» – деген екен. Мұны естіген ұрылар:

• «Қой мұнымыз бекер болар. Бұл үй толы кісі, әрі бізден екі есе артық екен, кетейік», – деп, кетіп қалыпты.Кемпір тапқырлығымен ұрыларды осылай қорқытыпты.

Сонда үйдегі адам нешеу , ұры нешеу?

Шешуі : 1+1+2+4+1+1=10 адам.

10 : 2= 5 ұры.

Жауабы: 10 адам, 5 ұры. 

ЕСЕП. «Қисынсыз жору»

Мынау бір есеп мүлде мағынасыз болып көрінуі мүмкін:

Егер 8 = 54 болса, 84 неге тең?

Осы оғаш сұрақ онша мағынасыз емес, бұл есепті теңдеу құрып шығаруға болады.

ШЕШУІ: Бәлкім, сендер есепке енген сандардың ондық санау системасында жазылмағандығын аңғарған боларсыңдар – әйтпесе «84 неге тең» деген сұрақ мағынасыз болған болар еді. Белгісіз санау системасының негізі х болсын. «84» саны бұл жағдайда екінші разрядтың 8 бірлігін және бірінші разрядтың 4 бірлігін көрсетеді, яғни

84 = 8х + 4

«54» саны 5х + 4 екенін көрсетеді. 8= 5х + 4 теңдеуі шығады, бұл ондық санау системасында

64 = 5х + 4 болып жазылады, бұдан х =12. Сан он екілік санау жүйесінде  жазылған,

«84» = 812 + 4 =  100. Сонымен, егер 88 = «54» болса, онда

«84» = 100

Мына түрдегі есепте осыған ұқсас шығарылады: 5  6 = 33 болғанда, 100 неге тең болады? жауабы: 81 (тоғыздық санау жүйесі)

Логикалық есептерді теңдеулер жүйесі арқылы да шешімін табуға болады.

Есеп.

Әкесінің жасы үш ұлының жастарының қосындысынан 5-ке артық, он жылдан кейін әкесінің жасы ең үлкен ұлының жасынан 2 есе артық болса, жиырма жылдан кейін ортаншысының жасынан 2 есе артық болады, ал отыз жылдан кейін кенжесінің жасынан 2 есе артық болады. Қазіргі әкесінің жасы мен ұлдарының әрқайсысының жастары қаншада екенін анықтаңыз.

Шешуі:

Айталық, u-әкесінің жасы, ал x,y,z-ұлдарының жасы, яғни x-тұңғышының, y-ортаншысының, z-кенжесінің жасы болсын.

Сонда мынандай теңдеу шығады:

Жауабы: U=50, X=20, Y=15, Z=10.

әкесінің жасы- 50-де,

тұңғышының жасы -20-да,

ортаншысының жасы -15-те,

кенжесінің жасы- 10-да.

Есеп.

Егер бір жемістің бір килограммы және екінші жемістің он килограммы үшін 2 сом төленеді. Бағаның мерзімдік өзгеруі кезінде бірінші жеміс 15%-ға қымбаттайды, ал екінші жеміс 25%-ға арзандайды. Әр жемістің бір килограммы үшін 1 сом 82 тиын төленеді. Әр жемістің бір килограммы қанша тұрады?

Шешуі:

Бұл есепте жемістердің арзандатылғаннан кейінгі бағасын есептеу үшін жемістердің бағасын айнымалы ретінде алып теңсіздіктер жүйесін құру арқылы есептедім.

Жемістердің бір килограммы х және у (тиын) тұрады дейік.

Сонда мынандай теңдеулер жүйесін шешу керек:

Жауабы: 15%-ға қымбаттатылған бірінші жеміс 80 тиын, 25%-ға арзандатылған  екінші жемістің бағасы 12 тиын. 

Есеп.

Аулада тауықтар мен лақтар бар. Олардың 19 басы және 46 аяғы бар. Аулада неше тауық және лақ бар?

Белгісізге белгілеу енгіземіз:

Бастары: тауық – х                   Аяқтары:   тауық – 2х

лақ – у                                          лақ – 4у

Теңдеулер жүйесін құрамыз

                    38 – 2у + 4у =46

                    2у=46 – 38

                    2у=8

                    у=4

х = 19 – 4 =15

х = 15 

Шешімдерін зерттеу:

тауық – 15

лақ – 4

бастарының саны: 15 + 4 = 19

аяқтарының саны: 2=46

Есептің жауабы: 15 – тауық

4 – лақ

Мысалы: 6 – сыныптағы: Теңдеулер жүйесін құру тақырыбына: «Қаз бен түлкі» ертегісін оқи отырып, мына теңдеуді шешеміз:

«Түлкісін аярлыққа бермейтін дос

Көрейін сенде қанша ақыл мен ес.

Балапан, көжек санын өзің тапшы

Аяқтары 94, басы 35»

1. Есептің мәтінін түсіну.

Түлкінің айлакерлігі, қаздың ақылдылығы, балапанда – 2 аяқ

көжекте – 4 аяқ

2. Теңдеу құру: Балапан саны – х

Көжек саны – у

Балапанда 2 аяқ – 2х

Көжекте 4 аяқ – 4х

Сонда     Теңдеулер жүйесі шығады.

3. Теңдеулер жүйесін шешу

4. Теңдеудің шешімдерін зерттеу:

Балапан – 23

Көжек – 12

Бастарының саны 23+12=35

Аяқтарының саны 2

5. Есептің жауабы: 23 балапан, 12 көжек

 Граф әдісі

Алдымен графтар теориясының негізгі ұғымдарымен танысайық. Ең алдымен сөз болып отырған графтың, бұрынғы кездегі аристократтарға ешқандай қатысы жоқ екенін айта кеткен жөн болар. Біздің «графтың» түбір сөзі «графо» деген сөзінен шыққан, ол жазамын дегенді білдіреді.«График»,«биография», «голография», деген сөздердің де түбірі сол. Граф ұғымын мысал арқылы түсіндірген оңай.

Сынып біріншілігі.Үстел теннисі бойынша сынып біріншілігіне 6 бала қатысты: Айгүл, Бекжан, Тимур, Гүлім, Дамир, Еркін. Біріншілік айналу жүйесі бойынша өткізіледі – жарысқа қатысушы әрбір адам қалғандарымен бір-бір рет ойнап шығады. Бұған дейін бірнеше ойын өткізілген болатын: Айгүл Бекжанмен , Гүліммен Еркінмен; Тимур, бұрын айтылғандай, Айгүлмен және Гүліммен; Тимур– Гүліммен, Дамир – Тимурмен және Еркін – Айгүлмен және Тимурмен ойнаған. Бұған дейін неше ойын ойналған және тағы неше ойын қалды?

Талқылау. Берілген есепті схема түрінде кескіндейік. Қатысушыларды нүктемен кескіндейміз: Айгүлді – А нүктесімен, Бекжанды – Б нуктесімен т.с.с. Егер қатысушылардың  екеуі ойнап кеткен болса онда оларды кескіндейтін нүктені кесінділермен қосамыз. Сонда 1-суретте көрсетілгендей схема шығады.

Мұндай схемаларды графтар деп атайды. А, Б, В, Г, Д, Е нүктелері графтың төбелері, оларды қосатын кесінділер графтың қабырғалары деп атайды. Граф қабырғаларының қиылысу нүктелері оның төбелері болып табылмайтының ескерте кетейік. Шатастырып алмау үшін граф төбелерін көбінесе нүктелермен емес, кішкентай дөңгелектермен кескіндейді. Қабырғаны көбінесе түзу сызықты кесінділермен емес, қисық сызықты

2-сурет                       кесінділермен – «доғалармен» кескіндеген ыңғайлы болады екен.   Ал енді есебімізге оралайық. Бұған дейін өткізілген ойындар саны қабырғалар санына тең, яғни 7. Өткізілуге тиісті ойындардың санын табу үшін, тағы бір граф сызайық, оның төбелері бұрынғыдай, бірақ қабырғалары бір-бірімен әлі ойнамаған балаларды қосатын кесінділер болады, 2-сурет. Бұл графтың қабырғасы 8 болып шықты, демек, әлі 8 ойын өткізу керек: Айгүл – Тимурмен және Дамирмен, Бекжан – Тимурмен, Дамирмен және Тимурмен т.с.с. теннис ойнауы керек.

Есеп: Төрт спортшы: Әлия, Ғалия, Мадина, Динара гимнастикадан өткен жарыста алдыңғы 4 орынды алды, бірақ олардың кез келген екеуі бұл орынды бөліскен жоқ.

Кім нешінші орын алды?- деген сұраққа үш жанкүйер былай деп жауап берді.

а) Әлия – ІІ, Динара – ІІІ

ә) Әлия – І, Ғалия – ІІ

б) Мадина – ІІ, Динара – ІV.

Жанкүйерлердің әрқайсысы бір рет қателескенін ескеріп, әр спортшының қандай орын алғанын табу керек.

Аты	І	ІІ	ІІІ	ІV
Әлия	+	+	–	–
Мадина	–	+	–	–
Динара	–	–	+	+
Ғалия	–	–	–	–

Жауабы: Әлия –І

Мадина – ІІ

Динара – ІІІ

Ғалия – ІV

Есеп.

Сыныпта 38 оқушы. Олардың 16-сы баскетбол, 17-сі хоккей, 18-і  волейбол ойнайды. Спорттың екі түрімен шұғылданады: 4-уі баскетбол және хоккеймен.

3-уі баскетбол және волейболмен.

5-уі волейбол және хоккеймен.

Олардың 3-уі баскетбол, хоккей, волейбол да ойнамайды. Спорттың үш түрімен  неше оқушы шұғылданады?

Шешуі:

1)  16-(3+4)=9(Баскетболшы)

2)  18-(3+5)=10(волейболшы)

3)  17-(5+4)=8(хоккейші)

4)   10+8+9+3=30

5)   38-30=8 (Үш түрімен шұғылданатын оқушылар)

Жауабы:   8 оқушы

Логикалық есептердің келесі түрі өлшеумен байланысты.

Есеп

Бөтелкеде, стаканда, құмырада, банкада сүт, лимонад, квас, су бар. Су мен сүт бөтелкеде емес.

Лимонад құйылған ыдыс құмыра мен квас құйылған ыдыстың арасында. Банкаға құйылған лимонад та су да емес. Стакан банка мен сүт құйылған ыдыстың қасында. Қандай сұйық қай ыдысқа құйылған.

Жауабы: Сүт құмыраға,  лимонад бөтелкеге, квас банкаға, су стаканға  құйылған. 

Жасырын санды табу.

1)   924                 2)  450             3)   3хх

–                        +                           х

ххх                       ххх                      2х

206                      630                            ххх6

+

хх2

9ххх

Жауабы:

1)   924                 2)  450             3)   351

–                        +                           х

718                       180                      26

206                        630                  2106

+

702

9126

Логикалық есептерді шығару оқушы шығармашылығы болып табылады.     [Я. И. Перельман « қызықты алгебра»]А.В.Фарков. математика есптері. Москва- 2006 ж. Айрис- пресс.

1. Нәтижесі 4 болу үшін 2санын қандай санға бөлуге болады?

Шешуі:

2. Екі санды көбейткенде нәтижесі 105 болады. Қандай сандар көбейтілген?

Шешуі:

3. Мұғалім сыныпқа 111 дәптер алып келіп, әр оқушыдағы дәптер саны бірдей болатындай етіп таратты. Сынып 20 – дан көп, 40 – тан аз. Сыныпта қанша оқушы бар?

Шешуі:

37 – оқушы бар. 3 – дәптерден берген

Логикалық есептердің бір түріне әріптердің орнын цифрлармен алмастыру арқылы да есептеулер орындауға болады.

Есеп.

Түлкі 33 тышқан аулады. Ол аулаған тышқандарын тышқан санын әр түрлі етіп, 6 үймеге бөліп үйді. үймелердің ең үлкенінде 8 тышқан бар. Келесі үймедегі тышқандар маны оның алдыңғы үймедегі  тышқандар санынан 1 тышқан кем. Ең соңғы үймеде неше тышқан бар?

Шешуі: Барлығы – 33 тышқан бар

8                       7                      6                        5                     4                  3

Жауабы: Соңғы үймеде 3 тышқан бар

Логикалық есептерді олимпиадалық есептерді шешуде де қолданады.

1. Көбейтіндіні есепте:

Шығарылуы:

(10-10)=0        Көбейтінді 0 – ге тең

Өзім құрастырған есептің шешімін орындап көрсетейін.

Есеп . «21»

«21» шешу үшін жұлдызшалардың орнына математикалық амал таңбасымен (қосу, бөлу, азайту, көбейту, жақша) нәтижесінде 21 саны шығатындай етіп, алмастыру қажет. Сонда тігінен де, көлденең де сандар қосындысы 21 – ге тең болуы тиіс.

2        4        5           9         1          7 = 21

3        8        6           2         9          2 = 21

9        1        7           5         3          4 = 21

5        8        2           5         3          1 = 21

6        5        1           4         2          8 = 21

7        9        7           6         1          7 = 21

=        =        =           =         =          =

21      21      21         21       21       21

Шешуі:

Көлденең:

( 2+4+5-9+1)*7=21

3-8+6-2-9+2=21

( 9+1 )*7÷5+( 3+4 ) =21

( 5+8 )+( 2*5-3)+1=21

6*5+1-4+2-8=21

( 79-76 )*( 1*7 ) =21

Тігінен:

( 2+3+9-5-6 )*7=21

4*8+1-8+5-9=21

( 5+6-7-2+1 )*7=21

( 9+2 )*5÷5+4+6=21

( 1+9+3-3 )*2+1=21

( 7*2-4+1-8 )*7=21

Есеп. Қазір әкесінің жасы баласынан 10 есе үлкен, ал 10 жылдан кейін тек 4 есе ғана үлкен болады. Баласы неше жаста?

Шешуі:       баласы: х

әкесі: 10х

Т/қ:

4(х+10)=10х+10

4х+40=10х+10

10х-4х=40-10

6х=30

х=5

Теңдеудің шешімін зерттеу: баласы – 5 жаста

әкесі – 5

10 – жылдан кейін:

баласы – 15 жаста

әкесі – 60 жаста болады.

Жауабы: баласы – 15 жаста

әкесі – 60 жаста 

Есеп.Бастапқыда автобуста 14 адам болды. Автобус қозғалды, одан ол тоқтады. І- ші аялдамада 6 адам кірді,8 адам шықты. Кейінгі аялдамада 7 адам шықты, 4 адам кірді. Келесі аялдамада 1 кісі кірді. Бүтін жолда кісілер қанша, аялдама қанша?

Шешуі:

Аялдама: 1+1+1+1=4

Адамдар: (14+ 6 )- 8- 7+ 4+ 1=10 адам

Жауабы: 4 аялдама

10 адам.

Есеп. Егер сіз қай жылы туғаныңызды білгіңіз келсе:

Туған жылға 9 – ды қосып, 12 – ге бөлгендегі қалған қалдығы

өзіңіздің туған жылыңыз (қазақша) болып шығады.

Қазақша жыл аттары:

1. Тышқан
2. Сиыр
3. Барыс
4. Қоян
5. Ұлу
6. Жылан
7. Жылқы
8. Қой
9. Мешін

• Тауық
• Ит
• Доңыз

Мысалы: Менің туған жылым 1994 жыл.

І. Қазақша қай жылға келетінін білу үшін 9 – ды қосып, 12 – ге бөлейін.

• 1994 + 9 = 2003

2)    ит жылы туған екенмін

ІІ. Әкем 1964 жылы туған

• 1964+ 9=1973
• 1973:12=164(5қ)Ұлу жылы

Әріптерді цифрлармен алмастыру

1. Шешуі:

КҮН                354                            К=3

+                       +                                  Ү=5

ТҮН                254                            Н=4

ЖЕР                608                              Т=2

Ж=6

Е=0

Р=8

2. Шешуі:

АБВ                                321                              А=3

х                                     х

ВВ                                   11                              Б=2

АБВ                                 321                              В=1

+                                     +

АБВ                               321                                Г=5

АГАВ                            3531 

Мысалы – 1. «алты қанат киіз үйге екі мысық келіп кірді де, бірінші керегенің түбіне екеуі балалап, әрқайсысы алтыдан балалады. Олардың бәріде мысық болып өсті де, тағыда алты – алтыдан балалады, т.с.с. осылайша әр керегенің түбіне барып балапан шықты». Сонда киіз үйден неше мысық өсіп шығады?

1. Есепті талдау

а) Алты қанат киіз үй туралы түсінік

ә) Мысықтардың өсімталдығы туралы

б) Әр кереге түбіне әрқайсысы алтыдан мысық шығаратыны туралы түсінік беру

2. Есепті схема сурет түрінде жазу
3. Шығару тәсілі – әр керегенің тұсына 6 – дан балалайтын болғандықтан, әр керегедегі мысықтар санын 6 – ға көбейту.
4. Есепті шығару: әр керегедегі мысық саны. 12+72+432+2592+15552+93312= 111972
5. Есептің нәтижесін тексеру:
6. Есепті зерттеу: Әр керегеде мысықтар саны өсіп 6 есеге көбейіп отырады
7. Есептің жауабы: алты қанат киіз үйден барлығы 111972 мысық өсіп шығады.

Қорытынды.

Осы ғылыми жобамызды жазу барысында тұрмыстағы логикалық есептердің

Қыр – сырымен таныстық. Біздің  негізгі мақсатымыз сабақтар көлеміндегі тақырыпты игеру мен қатар кең ауқымды есептерді шешуді зерттеу. Бұл тұрғыда зерттеген еңбегімді пәнге деген қызығушылығымызды арттырып, оқулықтарды пайдалана отырып, ізденуіміздің арқасында өзіміздің білімімізді толықтырдық.

Тұрмыстағы математика есептерін- халқының өмірінің, әдеп- ғұрыптарының, салт- дәстүрлерінің ежелгі көрінісі. Қорыта келгенде, біздің жүргізген зерттеулеріміз математика ғылымының түпсіз терең, құпиясы мол әлем екенің дәлелдей түседі. Дана халқымыз өзінің бай, тағылымға толы мұрасының ұрпағына адамдыққа толы тәрбие бере білген. Оны ежелден келе жатқан көне есептерден көріп отырмыз. Бұл тақырып әлі де толығырақ зерттеулерді қажет етеді деп ойлаймын.Қазіргі заман математика ғылымының өте кең, жан- жақты тараған кезеңі. Ал талапқа сай математикалық білімін көтеру үшін оқушылардың әрқайсысының үлкен ізденісте жүруі шарт, яғни ғылыми жобамды басқа оқушылар керегіне қолданады деп ойлаймын. Қазіргі таңдағы қоғамның дамуының негізгі факторы- білім, ғылым және демографиялық, саяси тұрақтылық. Олай болса, дәуір қанша құбылғанымен, біздің жас болашағымыздың жақсы болуы білімсіз жүзеге асуы мүмкін емес. Сондықтанда да еліміздің Президенті Нұрсұлтан Әбішұлы Назарбаевтың білім мен ғылымның дамуына баса назар аударуы, оның үнемі өз бақылауында ұстауы- соның айқын дәлелі.

Пайдаланған әдебиеттер:

1. С.Қаниев «Математикадан таңдамалы есептер» Алматы «Рауан»1993ж.
2. Математика және физика журналы №1.2007 ж.
3. Математика және физика журналы №3.2003 ж.
4. математика және физика журналы №2.2005 ж.
5. « Математика және физика » . №4. 2004 ж.
6. С.Е.Елеубаев « Қазақтың байырғы есептері ».
7. Я. И Перельман « Қызықты алгебра »
8. М.И.Сканави. «Сборник задач по математике» Высшая школа.1992г.
9. Алгорифм №2. 2005ж.

• http://assorti-1.narod.ru/conf2009/conf_jenis.doc
• http://imath.kz/kz/index.php/esepter/logikalik-tapsyrmalar.html