ҒЫЛЫМИ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Квадраттық теңдеулер және оларды шешу жолдары.
Квадрат теңдеу
2-дәрежелі көпмүше немесе квадраттық теңдеу, квадраттық үшмүшелік деп
түріндегі көпмүшелі теңдеуді айтамыз. Мұндағы a≠0 (Егер a = 0 болса, теңдеу ). Квадрат теңдеудің графигі – парабола (яғни квадрат функция).Квадрат теңдеу – 2-дәрежелі алгебралық теңдеу. Оның жалпы түрі мынадай: ax2+bx+c=0, a≠0. Квадрат үшмүше комплекс сандар жиынында сызықтық көбейткіштерге жіктеледі: ,мұндағы квадрат тендеудің түбірлері; — сандарыквадрат үшмүшенің түбірлері деп те, сонымен қатар бұлар квадрат функциясының нөлдері деп те аталады. Квадрат үшмүшені мына түрде де жазуға болады:
Осы өрнек нақты айнымалының квадрат функциясының графигін салу кезінде функцияның ең үлкен ( болғанда) немесе ең кіші ( болғанда) мәндерін анықтау үшін пайдаланылады. квадрат функциясының графигі парабола болады, оның нүктесінде орналасқан.
– — түзуі параболаның симметрия осі болып табылады. болғанда параболаның тармақтары жоғары карай, болғанда — төмен қарай бағытталады. болғанда нүктесінде максимумға кетерілсе, ал болғанда нүктесінде минимумға төмендейді.
Парабола ордината осін () нүктелерінде қиып өтеді. Егер квадрат үшмүшенің нақтытүбірлері болса, онда парабола абсцисса осін және нүктелерінде қиып өтеді, болса, парабола абсцисса осімен нүктесінде жанасады.[1]
a, b, және c әріптері – коэффиценттер деп аталады: a квадраттық коэффиценті – x2-тың коэффиценті, b коэффиценті – x-тің коэффиценті, ал c – тұрақты коэффицент немесе тұрақты мүше
ax2 + bx + c – ның графиктері (Әр коэффицентінің мәнін өзгерткенде)
Квадрат формуласы
Квадрат теңдеудің коэффиценттері нақты болса, оның екі шешімі немесе түбірі болады. Оларды квадрат формуласы сипаттайды:
,
яғни:
| және |
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу
Мысал: теңдеуін шешейік.
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:
+х+3х+3 =х(х+1)+3 (х+1) =(х+1)(х+3)
Демек, теңдеуді былай жазуға болады: (х+1)(х+3) =0
Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х =-1 және сандары +4х+3=0 теңдеуінің түбірлері болып табылады.
2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі
Мысал: +8х-9=0 теңдеуін шешейік.
Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін +8х өрнегін төмендегідей жазып аламыз: + 8х=+2х4
Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 42-ын қосу керек. Сонда +2х4+42=(х+4)2
Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 42-ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығатыны: +8х-9=+2х4+42-9-4 =(х+4)2-25
Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады: (х+4)2-25=0 , яғни (х+4)2=25.
Бұдан х+4=5, х =1 немесе х+4=-5, х = -9. Жауабы: 1;-9
3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу
+вх+с=0, а≠0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:
4+4ахв+4ас=0
((2ах)2+4ахв+)-в2+4ас=0 , (2ах+в)2=-4ас
2ах+в= , 2ах = -в
х = (1)
Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады:
1)3-7х+4=0 теңдеуін шешейік.
а=3, в=-7, с=4. Д=в2-4ас=(-7)2-4•4•3=49-48=1.
Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х1=1, х2=
Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни -4ас>0, а+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.
2)9+6х+1=0 теңдеуін шешейік.
а=9, в=6, с=1. Д=в2-4ас=62-4•9•1=0.
Д=0 болғандықтан, бір ғана түбір бар болады: х= , х=
Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни в2-4ас=0, +вх+с=0 теңдеуінің жалғыз
түбірі бар болады: х=
3)+2х+3=0 теңдеуін шешейік.
а=1, в=2, с=3. Д=в2-4ас=4-4•3•1= -8.
Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды.
Сонымен, егер дискриминант теріс болса, яғни в2-4ас<0, онда +вх+с=0 теңдеуінің түбірі болмайды.
4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу
Келтірілген түбірлері Виет теоремасын қанағаттандырады.
Ол былай беріледі: а=1 болғанда,
Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады:
а) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі оң болса (q 0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда түбірлері оң болады.
Мысал, 1)-9х+20=0, х1=4, х2=5, мұнда q=20 >0, р=-9 <0;
2)+5х+6 =0, х1 =-2, х2 =-3, мұнда q =6 >0, р =5 >0.
б) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q <0), онда теңдеудің екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер р <0 болса, теріс болады, егер р >0. Мысал, 1) +3х-4 =0; х1 =-4, х2 =1 мұнда q =-4 <0, р=-3 >0
2) -7х-8 =0; =8, =-1 мұнда q =-8 <0, р =-7 <0
5-әдіс. Теңдеуді «асыра лақтыру» әдісімен шешу
а+вх+с =0 , а ≠0 квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің екі жағын да а-ға көбейтіп, мынаны аламыз: +авх+ас=0. ах =у деп белгілесек, х = . Олай болса +ву+ас =0 теңдеуіне келеміз. Бұл бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің түбірлерін , –ні Виет теоремасы арқылы табамыз. Соңында = , = -ны аламыз. Бұл жағдайда
а коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан да бұл әдісті «асыра лақтыру» әдісі деп атайды. Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда қолданады.
Мысал: 2-9х+9=0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде
-9у+18=0 теңдеуін аламыз. Виет теоремасы бойынша
Жауабы: 3; 1, 5.
6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану
а+вх+с=0, а≠0 квадрат теңдеуі берілген.
Егер а+в+с=0 (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда х1=1, х2=
Мысал: 7+2-9=0 қосындысы 0-ге тең. Осы үш сан үшін квадрат теңдеу құрастырып, оны шешейік:
7-әдіс. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу
ах2+вх+с=0 квадраттық теңдеуін циркуль және сызғыш көмегімен шешу әдісін ұсынамыз (1-сурет). Ізделінді шеңбер абцисса өсінде В(х;0) және Д (х2;0) нүктелерінде қиылыссын делік. Мұндағы х1, х2 – ах2 + вх + с=0 теңдеуінің түбірлері және ординат осінен А(0;1) және С(0;) нүктелері арқылы өтеді делік. Олай болса, қима туралы теорема бойынша мынаны аламыз:
ОВ·ОД=ОА·ОС,
бұдан ОС=
1-сурет
Шеңбер центрі АС және ВД хорда ортасында орналасқан перпендикуляр SF пен SК-ның
қиылысу нүктелері болып табылады, сондықтанSК=;
SF =
Сонымен,
1) S (шеңбер центрі) және А (0;1) нүктелерін тұрғызамыз;
2) SА радиусты шеңбер жүргіземіз;
3) Осы шеңбердің Ох осі арқылы өтетін қиылысу нүктелері бастапқы квадрат теңдеудің түбірі болады.
Сонымен үш түрлі жағдай болуы мүмкін:
1-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінен артық (АS > SК, немесе, шеңбер Ох осін екі нүктеде (2а-сурет) В (х; 0) және Д (х2;0) нүктелерде қияды. Мұндағы х1 және х2-ах2+вх+с =0 квадрат теңдеуінің түбірлері).
2-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінде (АS= SК; немесе тең, шеңбер Ох осін В (х1; 0) нүктесінде (2б)-сурет) жанап өтеді, мұндағы х1 – квадрат теңдеудің түбірі).
3-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінен кіші (А S < SК, немесе ) кем, щеңбердің абцисса осімен қиылысатын нүктесі жоқ (2в – сурет), бұл жағдайда теңдеудің шешімі болмайды.
у у у
S
S
S
В
А
0 х1
А(0;1) В
0 х2
А(0;1)
0 В
а) АS>SВ, екі шешімі бар: х1 және х2
б) АS=SВ, бір шешімі бар: х1
в) АS шешім жоқ.
8-әдіс. Квадрат теңдеуді номограмма көмегімен шешу
O B E y 3
F D
y y 3y
H A
C
3 3y 9
Бұл квадрат теңдеуді шешудің бұрынғы және жөнсіз ұмыт болған әдісі.
Брадис таблицасында z2+pz+q=0 теңдеуін шешуге арналған номограмманы қарастырайық. Бұл номограмма квадрат теңдеудідің түбірлерін анықтауға мүмкіндік береді. Номограмманың қисық сызықты шкаласы төменгі формулалар бойынша тұрғызылған (жоғарыдағы 3-суретте бейнеленген).
ОВ= ОС=р, ЕД=q, ОЕ=а десек, мұндағы САН және СДF үшбұрыштарының ұқсастығына мынадай пропорция аламыз:
Мұнда z2+pz+q=0 теңдеуді ауыстыру жасағаннан және жеңілдеткеннен шығады, бұл жердегі z әрпі қисық сызықты шкала нүктесінің кез-келген белгісін білдіреді.
9-әдіс. Квадрат теңдеулерді геометриялық әдіспен шешу
Көне заманда алгебраға қарағанда геометрия көбірек жетілген кезде, квадрат теңдеулерді алгебралық жолмен емес геометриялық жолмен шеше білген. Ежелгі гректер мына у2 + 6у-16=0 теңдеуін қалай шешкендігіне тоқталып өтейік.
Шешуі: жоғарыдағы 4-суретте көрсетілген, мұндағы у2+6у=16 немесе у2+6у+9=16+9
у2+6у+9 және 16+9 өрнекті геометриялық тұрғыда сол квадраттың өзін береді, ал
у2+6у-16+9-9=0 бастапқы теңдеу де сол теңдеу. Бұдан алатынымыз у+3=5 немесе у1=2, у2=-8.