Жұмыстың тақырыбы: «ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДЕГІ ЕРЕКШЕЛІКТЕР»
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ………………………………………………………………………………………………………….3
1 ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Иррационал теңдеулердің шығу тарихы…………………………………………………4-6
1.2 Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктердің ерекшеліктері………………………….7-8
1.3 Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге қойылатын талаптар………9
2 ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДЕГІ ЕРЕКШЕЛІКТЕР
2.1 Иррационал теңдеулерді шешудің кейбір әдістері және әдістемелік ерекшеліктері………………………………………………………………………………………………10-15
2.2 Иррационал теңсіздіктерді шешудің ерекшеліктері…………………………………16-21
ҚОРЫТЫНДЫ…………………………………………………………………………………………………22
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ………………………………………………………….23
АННОТАЦИЯ
Это научно – иследсовательная работа посвящено на особенность решений иррациональных уравнений и неравенства. В иследовательской работе рассмотрено 9 методов иррациональных уравнений и 4 метода интересных решений иррациональных неравенств. А так же, в иследовательской работе рассмотрен все понятие решений иррациональных уравнений и неравенств и примитивные теоритические и практические учетные проценты учащихся.
ABSTRACT
It scientifically – isledsovatelny work is devoted on feature of solutions of the irrational equations and an inequality. In research work 9 methods of the irrational equations and 4 methods of interesting solutions of irrational inequalities are considered. And as, in research work it is considered all concept of solutions of the irrational equations and inequalities both primitive theoretical and practical discount rates of pupils.
КІРІСПЕ
Мектептің алгебра курсында бірінші, екінші дәрежелі теңдеулер мен сол дәрежелердегі теңдеулердің жүйелері оқытылады. Өмірдің қай саласында болмасын кездесетін сан алуан практикалық есептердің басым көпшілігі, белгілілер мен белгісіздері арасындағы тәуелділікті тауып, теңдеулер құру арқылы шешіледі. Олай болса, теңдеулер құрып есептер шығара білудің практикалық мәні өте зор.
Сондықтан да өмір практикасында кездескен есептерді теңдеулер арқылы шығару мәселесі тіпті ерте кезде көтерілді.
Теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін оқытып үйретуді төмендегідей екі топқа бөлуге болады:
– бірінші топ – рационал теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелері (мұндағы негізгі класстар бір белгісізді сызықтық теңдеулер, квадрат теңдеулер, сәйкесінше теңсіздіктер, екі белгісізді екі теңдеуден тұратын жүйе);
– екінші топ – иррационал және трасцендентті теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелері (бұл топтың құрамына иррационал, көрсеткіштік, логарифмдік және тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер кіреді).
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелері жөніндегі оның ішінде иррационал теңдеулер мен теңсіздіктердің ерекшеліктеріне байланысты мәселерді зерттеу бүгінгі таңда өзекті деп санап, зерттеу тақырыбын «Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің кейбір тәсілдері» деп таңдадық.
Теңдеулер мен теңдеулер жүйелері оқушыларды еңбек сүйгіштікке тәрбиелейді.
Сондықтан, иррационал теңдеулер мен теңсіздіктердің осы ерекшеліктерін айқындап, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде ескеріп отырсақ, онда оларды шешудің тиімді тәсілдерін меңгереміз.
Зерттеу нысаны – иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі ерекшеліктер.
Тақырыптың өзектілігі – иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тиімді тәсілдерін оқып – үйрену арқылы математикалық білім деңгейін көтеру.
Зерттеу жұмысының мақсаты-иррационал теңдеулер мен теңсіздіктердің ерекшеліктерін айқындап, оларды шешудің кейбір тиімді тәсілдерін көрсету.
Мақсатқа жету үшін алдымызға төмендегідей міндеттер қойдық:
– иррационал теңдеулер мен теңсіздіктердің ерекшеліктерін айқындау;
– иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге қойылатын талаптарды анықтау;
– иррационал теңсіздіктерді шешудегі тиімді тәсілдерді көрсету.
Зерттеу болжамы– орта мектеп бағдарламасына сәйкес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тиімді тәсілдері оқушылардың пәнге қызығушылығын тудырып, сабақ тиімділігін арттырады.
І. ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
- Иррационал теңдеулердің шығу тарихы
Мектептің алгебра курсында бірінші, екінші дәрежелі теңдеулер мен сол дәрежелердегі теңдеулердің жүйелері оқытылады. Өмірдің қай саласында болмасын кездесетін сан алуан практикалық мысалдардың басым көпшілігі, белгілілер мен белгісіздер арасындағы тәуелділікті тауып теңдеулер құру арқылы шешіледі. Олай болса, теңдеулер құрып мысалдарды шығара білудің практикалық мәні өте зор.
Сондықтан да өмірде практикалық кездескен мысалдарды теңдеулер арқылы шығару мәселесі тіпті ерте кезде көтерілді.
Вавилондықтар көрнекілік үшін есепте кездесетін белгісіздерді «сызықтар» деп, белгісіз сандардың көбейтіндісін «аудандар» деп атап, мысалды былай құрастырған: «Ұзындықты енімен көбейттім – аудан шықты, ауданға ұзындық пен еннің айырмасын қостым – 183 шықты. Содан кейін, ұзындықты еніне қостым- 27 шықты».
Вавилондықтардың тағы бір есебінде: «Екі квадрат аудандарының қосындысы 25,25 ал бір квадраттың қабырғасы, екінші квадрат қабырғасының бөлігіне 5- ті қосқанға тең» делінген.
Осы айтылғандар, қазіргі кездегі теңдеу түрінде былай жазылар еді:
(1)
(2)
Вавилондықтар көрнекілік үшін белгісіздерді «сызықтар», «аудандар» деп атағанда барлығын, гректерше геометрияға айналдырып жібермей, қайта әрқашан алгебралық тұрғыдан қарап ойлайды, мұны олардың (1) жүйедегі ауданға сызықтық кесінділер айырмасын қосқанынан көруге болады.
Қытайлықтар VII ғасырда 3 – дәрежелі теңдеулердің жалпы шешуін білмей тұрып, 3 – дәрежелі теңдеулерге әкеліп соғатын геометриялық мысалдарды «аспан элементі» деп аталған жуық әдіспен шешті.
XIII-XIV ғасырлардағы қытай математиктері осы әдіспен 4 және одан да жоғары дәрежелі теңдеулерді шешті.
Гректің Диофантқа дейінгі математиктері арифметика мен алгебра мәселелерін, соның ішінде теңдеулерді геометриялық (салу) тәсілімен шешті.
Осындай кең тараған дәстүрден, геометриялық тәсілден қол үзіп теңдеулерді алгебра әдісімен шешудің алғаш әрекетін жасаған да грек математигі Диофант.
Теңдеудің геометриялық шешілуін Диофанттан кейінгі математиктер, мысалы, әл –Хорезмидің де еңбегінен кездестіреміз. Бірақ бұл математикада қазіргідей символдық әдіс болмай, барлық есептеу, түрлендіру процесін көзбен жеткізу қиын болған кезде, үйреншікті тәсілмен жұмысты жеңілдету үшін жасалған әрекет.
Эрамыздың VI ғасырында адам баласының даму тарихына тамаша үлестер қосқан дарынды грек халқының мәдени мұралары мен ғылым– математика саласындағы еңбектері талан–таражға ұшырап құлдырады. Осы кезде арифметика мен алгебра саласында үнділер ірі табысқа жетті.
Үндінің математик–астрономдары Брамагупта, Бхаскара т.б. Үндістанның тамаша табиғатын өлеңге қосып, «саналы ойға ұшып түскен ғылым ұшқыны, өзінен–өзі тұтанар» деген принципті ұстанып, теңдеулер арқылы шығарылатын қызықты және түсінікті есептер құрастырды.
Мысалы, Бхаскара маймылдар туралы мынандай өлең жазды:
Екі топқа бөлініп,
Маймылдар ойнап жүр екен.
дің квадраты,
Жүр еді ойнап жырада.
Қиқу салып он екісі,
Ойнап жүрді жағада.
Барлығы қанша санап көр
Маймылдардың тобында?
Бұл Мысалды Бхаскара мынандай квадрат теңдеу арқылы шығарып, теңдеудің екі түбірін тапты:
Үнділер бірінші, екінші дәрежелі теңдеулердің шешу тәсілдерін білді және теңдеулерді шешкен кезде гректер ат-тонын ала қашқан теріс және иррационал сандардан безбей, оларды қолданып отырады.
Сондықтан әл-Хорезмиден кейінгі кейбір араб математиктері, үнділер үлгісімен математикалық шығармаларын өлеңмен жазды. Теңдеулерді шешу үшін де осындай «өлең-ереже» («дәстүрнәмә») – қолданылды. Мысалы, бір парсы математигі «әл-жебр», «уәл-мүкәбәла» ережесін былайша өлеңге қосқан.
«Әл-жебр» («қалпына келтіру»)
Теңдеулерді шешкен кезде,
Болсын мынау есіңде.
Әйтеуір бір бөлікте,
Теріс мүше кезіксе,
Соған кері таңбалы,
Шамасы дәл сондағы
Бір санды әкеп қосқайсың
Сонда одан не шықса,
Сабырмен оны тосқайсың!
Ол кезде қазіргідей математикалық аппарат болмағандықтан теңдеулердің жазылу формасы мен шығару жолында қалыптасқан белгілі бір ереже болмады, әркім теңдеуді әр түрлі жазып шығарды. Бұл жалпы алгебраның дамуына да көп кедергі болды. Ньютонның тұсында теңдеулер қазіргіше жазылды.
Бірінші дәрежелі теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін шешуді адам тіпті ертеде білді, ал квадрат теңдеулерді шешуді одан көп кейін үйренді. Жалпы қандай болсын теңдеулерді шешу мәселесі, әуелі олардың дербес түрлерін қарастырудан басталып отырады.
Мысалы, әл-Хорезми бірінші және екінші дәрежелі теңдеулердің дербес алты-ақ түрін қарастырған болса, Омар Һайям сондай теңдеулердің 25 түрін қарастырады.
Теңдеулердің әр кездегі жазылуы
1-кесте
| Теңдеулердің қазіргі жазылуы | |||
|
|
Қай жылдарда | Кімнің тұсында | Қалай жазылды |
| 820
1545
1572 1585 1591 1631 1637 1707 |
әл –Хорезми
Кардано
Бомбелли Стевин Виет Гарриот Декарт Ньютон
|
Бір квадрат санға тең деп сөзбен жазылды
Cubus p 6 rebus aegnales 20
22m 202p 22 12+51-410 IC-8Q+16Naegu 40 aaa-3abb=3ccc |
|
Математиктер бірінші және екінші дәрежелі теңдеулерді шеше жүріп, одан жоғары (үшінші, төртінші және бесінші) дәрежелі теңдеулермен шешілетін мысалдарды да кездестіріп отырады, бірақ мұндай жоғары дәрежелі теңдеулердің, әсіресе, үшінші дәрежелі теңдеудің алгебралық шешуі жүздеген жылдар бойы табылмады.
Алайда, үшінші дәрежелі теңдеулердің дербес түрлерін вавилондықтар (кестелер арқылы), Архимед геометриялық тәсілмен, ал қытай мен араб математиктері басқа тәсілдермен шешті .
- Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктердің ерекшеліктері
Теңдеу ұғымы маңызды жалпы математикалық ұғымдарға жатады. Сондықтан, мектептік алгебра курсын меңгеруге кірісетін оқушыларға бірдей уақытта оның әрі қатаң, әрі түсінікті анықтамасын беру қиынға соғады.
Теңдеудің логика математикалық анықтамасын былайша беруге болады: М жиынында алгебралық операциялар жиынтығы берілген болсын, – дегі айнымалы; онда теңдеу деп М жиынында х – қарағанда (предикат) айнымалы түрін айтады: мұндағы: – жазылуына х символы кіретін берілген операцияға қарағандағы термдер. Екі айнымалылардан тәуелді теңдеулер осылайша анықталады.
Логикада қабылданған «терм» және «предикат» терминдеріне мектеп математикасында «өрнек» және «айнымалысы бар сөйлем» терминдері сәйкес келеді. Сондықтан, осы формальды берілген айнымалыға келесі анықтама неғұрлым жақынырақ: «Теңдеу дегеніміз айнымалысы бар сөйлем, осы айнымалы бар екі өрнектің арасындағы теңдік».
Теңдеудің келтірілген математикалық анықтамасын талдай отырып оның екі компонентін бөліп алуға болады:
1) мағыналық компоненті, теңдеудің түбірі туралы ұғымды анықтау үшін қажет;
2) таңбалық компоненті, теңдеудің жазылуындағы түрлендірулерде пайдаланылады.
Теңдеудің келесі бір анықтамасы: «Айнымалысы бар теңдік теңдеу деп аталады. Айнымалының айнымалысы бар теңдікті сандық ақиқат теңдікке айналдыратын мәнді теңдеудің шешуі деп атайды».
Теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу барысында орындалатын түрлендіруді негізгі үш түрге бөлуге болады:
1) теңдеудің немесе теңсіздіктердің бөліктерінің бірін түрлендіру;
2) теңдеулер немесе теңсіздіктердің екі жақ бөлігін де келісімді түрлендіру;
3) логикалық құрылымын түрлендіру.
Айнымалысы түбір таңбасының астында немесе бөлшек дәрежеге шығару амалымен берілген теңдеулерді иррационал теңдеулер деп атайды. Бұл теңдеулер нақты сандар жиынында қарастырылады.
Иррационал теңдеулерді шешудің көп жағдайында табылған шешімді тексеру қажет болады.
Иррационал теңдеулерді шешуде көбінесе формуласы жиі қолданылады, жұп сан болғанда анықталу облысының кеңейуіне тура келеді, яғни бөгде түбірлердің пайда болуы мүмкін.
1-мысал . Теңдеуді шешіңіздер: . (4)
Теңдеудің екі жағын да квадраттаймыз: , .
Соңғы теңдеудің тағы да екі жағын квадраттаймыз:
- , яғни түбірі болады.
- , яғни бөгде түбір.
Олай болса, шешім .
Иррационал теңсіздікті шешуде теңдеулерді шешудегідей алгоритмдер қолданылады.
Кез келген иррационал теңсіздікті шешу (квадрат түбір астында айнымалысы бар) түрлендірудің соңында мына төмендегі теңсіздікті шешуге әкеледі:
теңсіздігін қарастырайық. (1)
(1) – теңсіздік мына жүйемен мәндес:
мұндағы -(1) теңсіздіктің салдары.
Жүйенің 1-ші және 2-ші теңсіздіктері бойынша, 3-ші теңсіздіктің екі жақ бөлігі де тек қана оң мәндерде қабылдайды, яғни бұл теңсіздіктің берілген жиынында екі жақ бөлігін де квадраттау (1) теңсіздікпен мәндес түрлендіру болып табылады.
осы сияқты мына жүйе мәндес
(2) қарастырайық бұл теңсіздік мына жүйелерімен мәндес
және
Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу барысында анықталу облысын талдау жұмысына мысал келтірейік.
1.3 Иррационал теңдеулер және теңсіздіктерге қойылатын талаптар
Иррационал теңдеулерді шешу әдістерін талдап және иррационал теңдеулердің ерекшеліктерін ескере отырып, мұндай теңдеулерді шешуге талап қоюға тырыстық.
Иррацинол теңдеулерді шешуге қойылатын талаптар:
– теңдеуде кездесетін жұп дәрежелі түбірлер арифметикалық түбірлер деп аталады;
– егер түбірлердің құрамындағы өрнек теріс болса, онда түбірдің ешқандай мағынасы жоқ;
– егер түбірдің астындағы өрнек нөлге тең болса, онда түбір нөлге тең болады;
– егер түбірдің астындағы өрнек оң болса, онда түбірдің мәні де оң болады;
– теңдеуде кездесетін тақ дәрежелі түбірлердің мәні түбір астында өрнектің кез-келген нақты мәнінде табылады;
– егер түбір астындағы өрнек нөлге тең болса, онда түбірдің мәні де нөл болады;
– егер түбір астындағы өрнек теріс болса, түбірдің мәні де теріс болады. Егер түбір астындағы өрнек оң болса, онда түбірдің мәні де оң болады.
Иррационалды теңсіздіктерді шешу, иррационал теңдеуді шешу негізінде орындалады, яғни мақсат дәреже таңбасынан құтылу болып табылады.
Иррационалды теңсіздіктерді шешуде төмендегі негізгі әдістер қолданылады:
– теңсіздіктің екі жағын да бірдей дәрежеге келтіру;
– жаңа айнымалы енгізу;
– көбейткіштерге жіктеу;
– интервалдар әдісі.
Иррационал теңсіздіктерді шешуге қойылатын талаптар:
– теңсіздіктің екі жағын да дәрежелеу арқылы иррационалдық теңсіздіктерді рационналдық теңсіздіктерге айналдыр;
– иррационалды теңсіздіктерді шешу кезінде келесі қағидалар басшылыққа алынады, яғни
а) дәрежеленген теңсіздіктің дәрежесінен құтылған кезде ол бастапқы берілген теңсіздікке тең болуы керек;
ә) егер теңсіздіктің екі жағын да жұп дәрежеге көтергенде, тек бастапқы теңсіздік теріс болмаса ғана ол бастапқысымен тең болады.
- ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДЕГІ ӘДІСТЕМЕЛІК ЕРЕКШЕЛІКТЕР
2.1 Иррационал теңдеулерді шешудің кейбір әдістері және әдістемелік ерекшеліктері
Қарапайым иррационалды теңдеулердің шешімдерін қарайық. Ол мына түрде болады. және .
Иррационалды теңдеулерді шешу үшін, оларды түрлендіріп қарапайым иррационалдық теңдеулерді шешуге әкелеміз.
Қарапайым иррационал теңдеулерде түбір астынан құтылу үшін оны дәрежелеп жіберуге болады.
Бірақ мұндайда бөгде түбір пайда болуы мүмкін. Сондықтан, әрбір табылған түбірді қарапайым теңдеудің шешімі бола алатынын алынған жауапты бастапқы теңдеуге қойып тексеру керек.
- Иррационал теңдеудің екі жағын дәрежелеу әдісі
1-мысал :
Теңдеуді шешіңіздер: .
Теңдеудің екі жағын да квадраттаймыз: .
Соңғы теңдеудің тағы да екі жағын квадраттаймыз:
Тексеру. Табылған түбірді айнымалының орнына қою арқылы тексеру.
- , яғни түбірі болады.
- , яғни бөгде түбір.
Олай болса, шешім .
2-мысал: теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
А.О :
x1,2=0, x3,4=
тексеру: 1) x= -4:
x= -4- бөгде түбір
2) x=0:
x=0 – бөгде түбір
3) x=4:
x=4 – бөтен түбір
Жауабы: жоқ.
- Иррационал теңдеулерді шешудің қарапайым әдісі
1-мысал. бұл теңдеуді шешу үшін дәреженің қасиетін пайдаланып төмендегіше жазамыз.
Соңғы теңдеудің дәреже көрсеткіштердің қосындысы кемімелі геометриялық прогрессия болып табылады. Ендеше ІХ сыныпқа арналған «Алгебра» оқулығындағы шектеусіз геометриялық прогрессияның болғандағы қосындысының формуласын пайдалансақ
ендеше бұдан
берілген теңдеуді қанағаттандырмайды.
Жауабы: 2
- Иррационал теңдеуді шешу кезінде түбір астындағы өрнектің оң және теріс мәндер қабылдау мүмкіндігін ескеру әдісі
+
Осы теңдеуді шешу кезінде түбір астындағы өрнектің модулін ескермесек, онда біз иррационал теңдеудің бір түбірін жоғалтар едік.
- x-2>0, х>2 болса, х-2+х+1=х+2; х1=3
- -1< х <2 болса –(х-2)+х+1=х+2; х2=1
Жауабы: 3;1
- Иррационал теңдеуді функцияның өспелі және кемімелі қасиеттеріне сүйеніп шешу әдісі
анықталу облысы
Айнымалының мәні өскенде иррационал теңдеудің бір жағындағы функция кеміп, екінші жағындағы функция артса және керісінше, онда мұндай жағдайда иррационал теңдеудің жалғыз ғана шешімі болады, ол шешім анықталу облысының ішінде болады.
Шынында да тепе – теңдік, ендеше берілген теңдеудің шешімі.
Иррационал теңдеуді (теңсіздікті) функцияның қасиеттеріне сүйеніп шешу.
3-мысал: теңсіздігін қарастырайық.
Бұл теңсіздіктің анықталу облысы мынадай теңсіздігін қарастырайық.
Теңсіздіктің сол жағын монотонды өспелі, ал оң жағын монотонды кемімелі функция деп қарастыруға болады. Бұл функциялардың мәндері тек бір нүктеде тең болуы мүмкін. Енді теңсіздіктің анықталу облысын ескеріп шешуін жазуға болады:.
Әдетте мұндай теңсіздікті мынадай теңсіздіктердің жүйесінің көмегімен шешеді:
- Ирационал теңдеуді тригонометриялық алмастыруды енгізіп шешу әдісі
Теңдеуді шешу керек
Шешуі: Теңдеуді анықтау облысы Теріс сандар теңдеуді қанағаттандырмайтын болғандықтан барлық шешімдері x>1 жиынынан табылады. алмастыруын енгізейік шарт бойынша . Енді теңдеуді мына түрде жазуға болады . Енді sin t+cos t=z алмастыруын енгізейік. Онда 35z2 -24z-35=0 теңдеуі шығады. Бұл теңдеуден
t-ға байланысты екі теңдеу шықты Бірінші теңдеудің аралығында шешімі жоқ. Екінші теңдеуде айнымалысын енгізіп теңдеуіне келеміз. Осыдан Онда Енді х-тің мәндерін табамыз .
Жауабы:
Ескерту: Төмендегі жағдайларда тригонометриялық алмастыруларды қолдануға болады.
а) немесе егер теңдеуге радикалы кіретін болса.
б) егер теңдеуге радикалы кіретін болса.
в) егер теңдеуге радикалы кіретін болса.
- 6. Иррационал теңдеуді рационал теңдеулер жүйесіне келтіріп шешу.
1-мысал теңдеуін осы тәсілмен шешейік.
Ол үшін алмастыруын енгізейік.
Онда біз мынадай жүйеге келеміз:
Бұл жүйені шешіп, айнымалыларының мәндерін, онан кейін тің мәндерін табамыз.
Жауабы:
- Теңдеудің екі жағын түйіндес өрнекке көбейтіп шешу.
Мысал : теңдеуін қарастырайық.
Теңдеудің екі жағын түйіндес өрнекке көбейткеннен кейін теңдеу түріне келеді.
Бұл екі теңдеуді мүшелеп қосып не шегеріп табамыз: .
- Ирационал теңдеуді шешудің векторлық әдісі
1-мысал:
теңдеуін қарастырайық.
Ол үшін векторларын енгізейік.
Енді осы векторлардың скаляр көбейтіндісі мен модульдарының көбейтіндісін табайық:
Бұл көбейтінділер тең болғандықтан векторлары коллинеар болады. Коллинеар векторлардың координаторлары пропорционал болғандықтан шарты орындалады.
Бұл шартты ықшамдағаннан кейін теңдеуіне келеміз. Егер теңдеудің түбірлері мынадай:
Соңғы түбір теңдеуді қанағаттандырмайтын болғандықтан теңдеудің екі шешімі болады: .
Иррационал теңдеуді векторлық әдіспен шешу бұрын шыққан ғылым – әдістемелік әдебиет беттерінде көрініс таппаған, аса сирек қолданылатын қазіргі кезеңде пайда болған тың әдістердің бірі деп санаймыз.
Бұл әдіспен есептер шығару векторлардың коллинеарлығына, кеңістіктегі компланарлығына, яғни олардың сәйкес координаттарының пропорционал болатындығына негізделген.
Векторлық әдіспен есеп шығарудағы артықшылық бұл әдіспен шешуі қиын кейбір есептер шешу аса тиімді, екінші артықшылығы бұл оқушылардың алған білімдерін пысықтауға көмегін тигізеді.
2-мысал.
болғандықтан және векторлары коллиенар, ендеше коллиенар векторлардың сәйкес координаттары пропорционал болады деген теорема бойынша
Шынында да
бұл тепе- теңдік, ендеше берілген теңдеудің шешімі.
- Ирационал теңдеулерді жаңа айнымалы енгізу арқылы шешу әдісі
1-мысал:
Теңдеуді шешіңіз:
Шешуі:
a>0 десек, онда теңдеу мына түрде болады:
a1=2, a2= -1<0
Жауабы: 2,5
2.2 Иррационал теңсіздіктерді шешудің әдістемелік ерекшеліктері
Иррационал теңсіздіктер шешуін төмендегідей қарапайым түрде көрсетуге болады.
түріндегі теңсіздік берілсін.
- , теңсіздігін шешеміз.
- Теңсіздіктің сол бөлігін
а) егер болса, онда теңсіздіктің екінші бөлігінің оң бөлігінен үлкен болғаны. Мұнда теңсіздіктің шешімі түрінде шешіледі.
б) егер болса, онда теңсіздіктің екі бөлігін де дәрежесіне шығарамыз. Яғни .
Бұл жалпы түрде төмендегідей жазылады.
а) б)
Ал теңсіздік түрінде берілсе, онда ол төменгі теңсіздіктермен мәндес болады.
1-мысал:
Шешуі: а)
б)
квадрат үшмүшесінің түбірлерін тауып, аралықтар әдісімен шешеміз.
мұны сан түзуінен көрсетсек:
Жауабы:
2-мысал:
Шешуі:
квадрат үшмүшесінің түбірлері:
Онда. шешулерін сан түзуінен көрсетейік.
Жауабы:
Иррационал теңсіздіктерді шешудің негізгі әдістері мыналар болып табылады:
– теңсіздіктің екі бөлігін де бірдей дәрежеге келтіру;
– жаңа айнымалы енгізу;
– көбейткіштерге жіктеу;
– интервалдар әдісі;
Осы әдістердің әрқайсысын жеке – жеке көрейік.
- Теңсіздіктің екі жағын да бірдей дәрежеге келтіру әдісі
Бұл әдіс екі жақты да дәрежелеу арқылы иррационал теңсіздіктерді рационал теңсіздіктерге айналдыру әдісі.
Мұндай түрлендіру кезінде алынған теңсіздіктің бастапқысына тең болуын қадағалау керек.
және түріндегі қарапайым түрдегі теңсіздіктерден бастайық.
1-мысал:
Теңсіздікті шешіңіз:
Шешуі:
+ +
х
2 __
Жауабы: 2 < x <
- Жаңа айнымалыны енгізу әдісі
1-мысал
Теңсіздікті шешіңіз:
Шешуі: десек:
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
- а
+ +
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
__ -3 0 __ 1 а
a>1
Жауабы:
- Көбейткіштерге жіктеу әдісі
Бұл әдісті мысалдармен көрсетейік.
- мысал:
2-Теңсіздікті шешіңіз:
Шешуі:
Көбейтіндісі теріс емес болады, егер көбейтінділер бір таңбалы болса.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \\ \ \ \\ \\
1 x
+ +
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
-1 __ 2 х
Жауабы:
- Интервалдар әдісі
Иррационал теңсіздіктерді шешудің бұл әдісін мына түрде қарастырайық
Әдісті қолдану алгоритмі:
– f(x) үзіліссіз болатын D(f) аралығын табамыз;
– f(x)=0 болғанда x-тің мәні f(x) функцияларының нөлдерін табамыз;
– сандық оське табылған аралықтарды және функцияның нөлдерін енгіземіз;
– интервалдар таңба тұрақтығын анықтап, олардың әрқайсысына табылған белгілерді қоямыз;
– шешімін жазамыз.
1-мысал
Теңсіздікті шешіңіз:
Шешуі:
- – анықталу облысының әрбір нүктесінде үздіксіз
- Функцияның нөлдерін табамыз:
x1=1
x2= – (бөгде түбір)
+ __
1 x
- f(x) функциясының әрбір аралықтағы таңбалық мағынасын табамыз:
аралығы қаралмайды, өйткені ол d(f)- ка кірмейді.
- Жауабы:
2-мысал: Теңсіздікті шеш.
Шешуі: а) анықталу облысын табамыз.
яғни
ә) осыдан немесе
Тексеру: Екі түбірде есептің шартын қанағаттандыратынын білдіреді (бөгде түбір жоқ). Сондықтан функциясының екі нөлі бар.
б) және нүктелерін координаталар түзуінде белгілейміз.
Егер болса, онда егер болса, онда .
Жауабы:
3-мысал: Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер:
Шешуі: Жоғарыда келтірілген мысалдарды пайдалана отырып табамыз.
Жауабы: шешімі (түбірі) жоқ.
ҚОРЫТЫНДЫ
Математиканы оқытудың басқа салаларына қарағанда меңгеруге қиын, логикалық ойлау деңгейіне қойылатын талаптың жоғарлығына байланысты ерекшеленеді.
Математиканы оқытудың басты мақсаттарының бірі – оның теориялық негіздерін білу және оларды практикада қолдану дағдыларын меңгерту.
Сонымен қатар, оқушылардың логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін, талқылауды есептеу, ойды дәл және анық тұжырымдай білу мәселелері де маңызды міндеттер болып табылады.
Орта мектеп математика бағдарламасы, оқулықтар, оқу әдістемелік құралдардағы иррационал ұғымына байланысты мәселелер толық қамтылып талданды.
Сонымен қатар, иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге байланысты кездесетін барлық ұғымдарға тоқтала отырып, оқушылардың теориялық және практикалық білімдерін дамытуға бағытталған тиімді оқыту жолдары қарастырылды:
- Иррационал теңдеудің екі жағын бірдей дәрежеге дәрежелеу үшін оны ыңғайлы түрге келтіріп алу керек;
- Берілген теңдеуді дәреже көрсеткіштері бірдей түбірлер түрінде берілсе, түбір астындағы өрнектерді бір түбір астына алып, өзара көбейтеді;
- Айнымалының табылған мәнін берілген теңдеуге қойып тексеру;
- Теңдеуде бөлшектің бөлімінде түбір кездессе, бөлшектің бөлімі нөл болмауы тиісті екенін ескеру керек.
Қорыта келгенде, зерттеу жұмысымыз «Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі әдістемелік ерекшеліктер» бойынша төмендегідей қорытынды жасадық:
– иррационал теңдеулер мен теңсіздіктердің ерекшеліктерін айқындадық;
– иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге қойылатын талаптарды анықтадық;
– иррационал теңдеулерді шешудегі тиімді тәсілдердің әдістемесін дайындадық;
– иррационал теңсіздіктерді шешудегі тиімді тәсілдерді көрсеттік.
Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістемелік ерекшеліктерін ескеру арқылы көптеген жетістіктерге қол жеткізуге болады.
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ:
- Сеитова С.М., Тасболатова Р.Б. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі (жалпы әдістеме). Электрондық оқулық, Талдықорған, 2007.
- Бидосов Ә. Математиканы оқыту әдістемесі. – Алматы, «Мектеп», 2007.- 262б.
- Сеитова С.М., Тасболатова Р.Б. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі (дербес әдістеме). Электрондық кітап, Талдықорған, 2007.
- В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович Практикум по элементарной математике «Просвещение», Москва 1995г
- Вавилов В.В., Мельников И.И., «Решение уравнении и неравенств»
Москва «Наука» 1987ж
- Цыпкин А.Г., Пинский А.И. «Справочное пособие по математике»
- Шыныбеков Ә. Алгебра – 9. – Алматы, Атамұра, 2005.
- Колмогоров А.Н, Алгебра және анализ бастамалары (10-11).// Алматы «Рауан» баспасы 1998.
- Перельман Я.И. Қызықты алгебра. – Алматы, «Мектеп», 1986.
10.Абылқасымова А.Е. Методика преподавания математики. – Алматы,Санат, 1993.
- Александров Б.И.др. Пособие по математике для поступающих в вузы. Москва, издательсва “МГУ” ,1972 г
- Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. Москва, издательство “Просвещение” , 1990 г.
- 13. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. Москва, издательство “Просвещение” , 1989 г.
- Говоров В.Н., Дыбов П.Т. и др. Сборник конкурсных задач по математике. Москва, издательство “Наука” , 1986 г.
- Ивлев Б.М., Земляков А.Н. и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Москва, издательство “Просвещение”, 1978 г