Векторларды геометриялық есептерді шешуде қолдану, ғылыми жоба

П І К І Р

Тақырыпты егжей-тегжей зерттеп, толық аша білген. Мектепте оқытылатын математика салаларын, соның ішінде, техникалық ғылымдардың негізі болып табылатын векторларды неғұрлым тереңірек білу мақсатында, зерттеу жұмыстарын жүргізген.

Нұржанқызы Балбыраштың «Векторларды геометриялық есептерді шешуде қолдану» атты ғылыми жобасындағы кіріспе бөлімінде векторлар қандай салаларда қолданылып жатқандығы жайлы мағлұматтар беріп, векторлық алгебраға қысқаша тоқталып өткен.

Зерттеу бөлімінде векторлық кеңістікті сызықтық алгебрамен байланыстыра отырып, векторлардың компланарлығын дәлелдеген. Векторларды геометрияның планиметрия және стереометрия бөліміндегі фигуралармен денелерге байланысты есептерді шығаруда жүйелі қолдана білген. Олимпиадада кездесетін геометриялық есептерді векторларды қолдана отырып жеңіл шеше білген.

Қорытынды бөлімінде векторлардың көмегімен бірнеше күрделі есептерді тиімді тәсілмен шығара отырып, векторларды неғүрлым тереңірек біліп, меңгере алған.

Нұржанқызы Балбыраштың ғылыми жобасындағы алдына қойған мақсаттары толығымен орындалды деп, бұл жұмысы жоғары баға беруге лайықты деп есептеймін және 11 сынып оқушысы Нұржанқызы Балбыраштың «Векторларды геометриялық есептерді шешуде қолдану»  тақырыбында жазған ғылыми жобасы қалалық ғылыми жобалар байқауына  ұсынуға болады.

Аннотация

Кіріспе бөлімінде векторлар қандай салаларда қолданылып жатқандығы жайлы    мағлұматтар беріліп, векторлық алгебраға қысқаша тоқталып өткен. Зерттеу бөлімінде векторлық кеңістікті сызықтық алгебрамен байланыстырған. Геометрияның планиметрия және стереометрия бөліміндегі фигуралар мен денелерге байланысты есептер шығаруда векторларды жүйелі қолданған. Қорытынды бөлімінде векторлардың көмегімен бірнеше күрделі есептер тиімді тәсілмен шығарылған.

Аннотация

Во введении даны краткие понятия о векторной алгебре и показаны в каких направлениях используются векторы. В основной части исследован связь векторного пространства с линейной  алгеброй. В разделе планиметрия и стереометрия в геометрии приведены  способы использования векторов при решении задач на геометрические фигуры  и тела.  В заключении показано оптимальное решение трудно решаемых задач с использованием векторов.

Anotation

The introduction gives a brief idea about vector algebra and shows in which directions are used vectors. In the main part of the investigated relationship with the vector space of linear  algebra. In the planimetry and stereometry in the geometry shown how to use vectors  to solve problems in geometric shapes. In conclusion, the optimal solution is shown intractable problems using vectors.

 Мазмұны  

Кіріспе ……………………………………………………………..		4
1.	Вектор және скаляр жайлы түсінік ………………………………	4
1.1	Геометриядағы вектор ……………………………………………	5
2.	Векторлық алгебра ………………………………………………..	6
2.1	Коллинеар векторлар,нөл-вектор,тең векторлар……………….	6
2.2	Векторлардың қосындысы………………………………………..	7
2.3	Бірнеше векторлардың қосындысы………………………………	8
Зерттеу бөлімі………………………………………………………		10
3.	Кеңістіктегі тік бұрышты координаттар жүйесі………………..	10
4.	Үшінші ретті анықтауыш…………………………………………	14
Практикалық бөлімі………………………………………………		15
5.	Кейбір векторлық қатынастар…………………………………….	26
Қорытынды…………………………………………………………		33
Қолданылған әдебиеттер ………………………………………….		37

Кіріспе

Тәуелсіз Қазақстанымыздың экономикасы өркендеп,өндіріс орындарының жандануына байланысты математика ,физика-техника салаларының ғалымдарына, білікті мамандарына деген сұраныс,қазіргі кезеңде, күрт артып отыр.

Елімізде қажет болып отырған мамандарды бүгінгі күні мектеп партасындаотырған математика, физика пәндеріне бейімділік танытқан оқушыларды тәрбиелеп,өсіріп шығаруға болатыны түсінікті. Сондықтан, математика бағытында білім беріп жатқан сыныптарға тиісті көңіл бөлу – уақыт талабы. Бұл тұрғыда оқушыларға мектепте оқытылатын математика салаларын, соның ішінде, техникалық ғылымдардың негізі болып табылатын векторларды неғұрлым тереңірек білгізіп, меңгерту керек.

Қазіргі заман математикасының негізгі де іргелі ұғымдарының бірі -векторлық кеңістік ұғымы. Бұл ұғым математиканың сызықтық алгебра, сызықтық  программалау, функцияналдық анализ және физиканың толып жатқан салаларында колданылыды. Векторлар теориялық физикада, механикада, гидродинамикада, аэродинамикада, потенциалдар теориясында, қолданбалы математикада, химияда, экономикада табысты қолданыс тауып отыр.

Біз бұл тақырыпты қозғағанымыздың себебі, мектеп оқулықтарында векторлық кеңістікке толық ақпарат берілмеген. Бірақ, осы векторларға Ұлттық Бірыңғай Тестілеуде, олимпиадада көптеп есептер кездесуіне байланысты векторларды толығымен зерттеп, бірнеше есептер ұсынылып отыр.

1.Вектор және скаляр жайлы түсінік

Кез келген бағытталған ұзындықты вектор деп,ал бағытталмаған ұзындықты скалярлық шама деп атайды.

Мысалы: Материалдық нүктеге әсер ететін күш бағыты болғандықтан вектор болып табылады.Материалдық нүктенің жылдамдығы да вектор болып табылады.

Дененің температурасы ешқандай бағытпен байланысты болмағандықтан скаляр болып табылады.Дененің массасы, тығыздығы да скалярлық шама. Вектордың ұзындығын толығымен бағытталған кесіндінің ұзындығы деп қарастыруға болады.

 Геометриядағы вектор.

Геометрияда бағытталған кесіндіні вектор деп атайды. Егер вектордың басы А нүктесі, ал ұшы В нүктесі болса, онда векторды арқылы белгілейді. Егер вектордың басы мен ұшы көрсетілмесе, онда оны кіші қою латын әріптерімен а,b,с,… немесе …арқылы белгілейді.(1 -сурет)

В                     Д

 

а

А

С                                         b

 

а = АВ векторының ұзындығы немесе модулі деп оның басы мен ұшының

арақашықтығын айтады және оны | |,| |, арқылы белгілейді.

2.Векторлық алгебра.

Векторларға қосу,азайту және векторларды көбейту амалдары қолданылады.Бұл

амалдардың қасиеттері алгебралық амалдар:қосу,азайту,көбейтудің жалпы қасиеттерімен ортақ.Сондықтан векторларға амалдар қолдануды векторлық алгебра деп атайды.

Коллинеар векторлар,нөл-вектор,тең векторлар.

 Параллель түзулердің немесе бір түзудің бойында жататын векторларды коллинеар векторлар деп атайды.Коллинеар,бірдей бағытталған,модульдері тең векторларды тең векторлар деп атайды және олардың теңдігін = белгісі арқылы

жазады.Мысалы,1-суретте = , = .Бұл анықтамадан векторларды жазықтықта немесе кеңістікте параллель көшіргеннен олардың теңдігі бұзылмайтынын көреміз.Басы мен ұшы беттесетін векторды нөл вектор деп атайды. арқылы векторына қарама-қарсы бағытталған вектор.Нөл векторының бағыты анықталмаған.

Кез-келген векторды ортақ бір нүктеден басталатындай етіп өзіне сәйкес тең векторларға орналастыруға болады.(2-сурет).

c

b

d

d              b

a

c

a

Векторлардың қосындысы

Нөл емес мен векторларының қосындысын үшбұрыш ережесі бойынша табуға болады.Егер кез-келген О нүктеден =  салынып оның А ұшынан =  векторы тұрғызылса,онда  қосындысын аламыз.

Векторларды қосудың үшбұрыш ережесін келесі түрде жазу арқылы есте сақтауға болады. .3-сурет.  мен   коллинеар векторларын қосу4-суреттe

көрсетілген.

 

b                                                      b

a

a

 

B

a+b                                                                        A

О                                         В                             O

4-cурет

a                   b

A               3-сурет

Бірнеше векторлардың қосындысы

векторларының қосындысы деп,басы қосылғыш векторлар тізбегінен құралған сынық сызықтың бірінші а векторының басында,ал ұшы соңғы векторының ұшында болатын = векторын айтады.

5-сурет                                                                            

=

Векторлардың айырымы

мен  векторларының айырымы деп, мен – векторларының қосындысына тең  векторын айтады. .

Егер ,  болса, онда

6-суретте,паралеллограмм ережесі бойынша алатын және векторлары көрсетілген.               

A                                                                                                        C

a-ba+b

O                   b                         B                                              6-cурет.

Векторларды санға көбейту

 векторымен α санының көбейтіндісі деп, модулі|α|·| |тең, бағыты α>0 болса а векторының бағытымен беттесетін,α<0 болса а векторының бағытына қарама-қарсы бағытталған α  немесе  α векторын айтады.

Бұл анықтамадан келесі тұжырымдар шығады:

1)Егер α=-1 болса,онда-1· , яғни берілгена векторына қарама-қарсы векторды аламыз;

2) Нөл емес мен векторлары коллинеар болу үшін

теңдігі орындалатындай х санының табылуы қажетті және жеткілікті.

Векторларға жасалатын сызықтық амалдарға қатысты заңдар:

1)  (қосудың орын ауыстырымдылық заңы)

2)(    (қосудың терімділік заңы)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

 Вектордың осьтегі проекциясы

АВ векторының ОХ осіндегі проекциясы деп векторын айтады.Мұндағы -А нүктесінің ОХ осіндегі проекциясы, -В нүктесінің ОХ осіндегі проекциясы.

Белгіленуі:  АВ= АВ векторы ОХ осімен бағыттас болса, онда таңбасы оң,ал бағыттас болмаса  таңбасы теріс болады.

Вектордың прекциялары жайлы теоремалар.

Теорема 1.

В

А                         Х

Теорема 2.Вектордың осьтегі проекциясы осы вектордың ұзындығы және вектор мен осьтің арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең болады.

= ·cos(b,^ a),  мұндағы  – векторы ОX осінің бойындағы вектор.

Зерттеу бөлімі

 Кеңістіктегі тік бұрышты координаттар жүйесі

О нүктесі арқылы өтетін өзара перпендикуляр ОХ ,ОУ , ОZ осьтерін тік бұрышты координаттар жүйесі деп атайды . О нүктесі координата бас нүктесі деп , ОХ- абсцисса осі, ОУ -ордината осі, OZ-апликат осі болып табылады . ОХ ,OУ, OZ осьтерінің бойынан оң бағытта ұзындығы 1 -ге тең векторларын О нүктесінен бастап саламыз .

-сәйкес осьтердің бірлік векторлары болып табылады және негізгі векторлар деп аталады.

векторының тік бұрышты координаттары деп , векторының осьтердегі проекцияларын айтады .  = (X,Ү,Z)- векторының координаталары .

Егер вектордың басы координата бас нүктесінен басталатын болса , онда ол радиус- вектор болып табылады да , вектордың координатасы ұшының координатасымен сәйкес келеді.

– әрбір вектор үш осьтік координаттағы проекцияларының косындысына тең болады .

әрбір вектор бірлік векторлар бойынша жіктеліп жазылады .

 Берілген координаталары бойынша векторларға амалдар қолдану :

m = (X₁,Ү₁,Z₁),n = (Х₂,Ү₂,Z₂)-векторларын қосу , азайту , санга көбейту қажет :

m+n = ( + Х₂, + Ү₂,Z₁+ Z₂),m-n = (Х₁ — Х₂, Ү₁ — Ү₂,Z₁— Z₂),

α·m = (α • Х₁,α·Ү₁,α ·Z₁),α ·n = (α·Х₂,α·Ү₂,α·Z₂)

 Векторды басы және үшының координаталары арқылы өрнектеу :

m = (Х,Ү,Z)векторы берілсін , mвекторының ұзындыгы |m|= √Х² +Ү²+Z²

 Координата осьтері мен вектор арасындағы бүрыш .

m (X,Ү,Z) векторының ОХ ,ОУ OZ осьтерінің оң бағытымен жасайтын сәйкес α,β,γ бұрыштары төмендегі формуламен анықталады :

cosα= cosβ= ,

cosγ= .

Егер = 1, онда cosα = Х,соsβ = Y,соsγ= Z тең болады .

Векторлардың коллинеарлық белгісі :

= (Х₁,Ү₁,Z₁), =(Х₂,Ү₂,Z₂)         векторлары коллинеар болу үшін,

координаталарының қатынастары өзара тең болуы қажет .

= = =λ,λ-пропорционалдық коэффициент оң болады, егер векторлар

бағыттас болса ; λ- теріс болады ,егер векторлар қарама- қарсы бағытталса .

 Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі.

мен векторларының скалярлық көбейтіндісі ^ формуласымен өрнектеледі.

Қасиеттері:

1. =0, егер екі вектордың біреуі нөл- вектор немесе
2. ( орын ауыстырымдылық қасиеті )

3°. (үлестірімділік қасиеті )

4°.

Бірлік векторлардың скалярлық көбейтіндісі:

Векторлардың координаталары бойынша скалярлық көбейтіндісін өрнектеу :

m= (Х₁,Ү₁,Z₁),n = (Х₂,Ү₂,Z₂)

m·n = Х₁ · Х₂ + Ү₁ -Ү₂ + Z₁ ·Z₂

  Векторлардың перпендикулярлық белгісі :

= (Х₁,Ү₁,Z₁),  = (Х₂,Ү₂,Z₂), болу үшінX·Х₂+Ү₁·Ү₂ +Z, -Z₂ = 0болады.

 Екі вектордың арасындағы бұрыш :

=(X, Ү₁,Z), n= (Х₂, Ү₂,Z₂) векторларының арасындағы  φ        бұрышын

сosφ= = формуласымен өрнектейді.

Үш вектордың оң жақ және сол жақ жүйелері: -нөлдік емес,бір жазықтыққа параллель емес,   –бірінші вектор , -екінші вектор ,  – үшінші вектор көрсетілген ретпен алынған болсын. О нүктесі бастап алсақ    -бір жазықтықта жатпайтын векторлары алынады.

С                                                                 С

 

В

О

 

О               А

 

В

А

Егер   векторы сағат тіліне қарама-қарсы бағытта   векторына бұрылатын болса, онда –  үш векторлар жүйесін оң жақ деп, ал егер векторы векторына сағат тіліне бағыттас бұру жасаса, онда   үш векторлар жүйесін сол жақ деп атайды.

негізгі векторлар оң жақ жүйені, ал –сол жақ жүйені құрайды.

Екі вектордың векторлық көбейтіндісі.

 және коллинеар емес екі вектордың векторлық көбейтіндісі деп үшінші векторын айтады, егер төмендегідей жағдайлар орындалса:

• векторының модулінің сандық мәні және векторларынан құралған параллелограмның ауданына тең, яғни ·sin(  ^ )
• c векторы берілген параллелограмға перпендикуляр орналасады да, бағытыa,b,c векторы оң жақ жүйе жасайтындай таңдап алынады.

Белгіленуі: c=a×b немесеc=ab

Қасиеттері:

1°.a  және b векторлары коллинер болса,ондаa×b =0

2° . a×a=0

3°.b×a=-(a×b)

4°.a+b×l=a×b+b×l

5°.ma×b=m(a×b)

6°.ma×nb=mna×b

Негізгі векторлардың векторлық көбейтіндісі:

 i˟i=0              i˟j=k                       i˟k=-j

 

j˟i=-k             j˟j=0                      j˟k=i

 

k˟i=j              k˟j=-j                     k˟k=0

Векторлардың координаталары арқылы векторлық көбейтіндіні өрнектеу:

a =(X1,Y1,Z1 ), b=(X2,Y2,Z2 )                                                       a×b =Y1  Z1Y2        Z2,Z1X1Z2        X2,X1      Y1X2        Y2

 Компланар векторлар.

Бір жазықтықта жататын және ортақ бір нүктеден бастап салынған үш (немесе одан да көп) векторды компланар вектор деп атайды.Егер үш вектордың біреуі нөл-вектор болса,онда үш векторды да компланар деп атайды.

Аралас көбейтінді.

Берілген тәртіппен алынған үш a,b,c  векторларының аралас(немесе векторлы-скалярлық) көбейтіндісі деп  b×c   векторлық көбейтіндісінің a векторына скаляр көбейтіндісін айтады, яғни a∙(b×c)  немесе  (b×c)∙a көбейтіндісі орындалады.

Белгіленуі:abc

Компланарлықтың белгісі: Егерa,b,c -оң жақ жүйе болса, ондаabc –>0; егер сол жақ жүйе болса,ондаabc –<0;егерa,b,c -компланар болса,ондаabc =0

abc =0-компланарлықтың белгісі.

Геометриялық мағынасы:Компланар емесa,b,c векторларының аралас көбейтіндісі осы векторлардан құралған параллелепипедтің көлеміне тең.Егер векторлар оң жақ жүйені құраса,онда аралас көбейтінді плюс таңбасымен, сол жақ жүйемен алынса,онда минус таңбасымен алынады.V=±(a×b)∙c

Аралас көбейтіндінің қасиеттері:

1°. abc=bca=cab=-bac=-cba=-(acb)

2°. a+b∙c∙d=acd+bcd

3°.mabc=m(abc)

4°. aab=0

 Үшінші ретті анықтауыш

Көптеген жағдайларда аралас көбейтіндініа1b1c1а2  b2c2а3  b3c3 өрнегімен есептеу ыңғайлы.

Бұл өрнек үшінші ретті анықтауыш деп аталады.

а1b1c1а2  b2c2а3  b3c3 =a1 ·b2  c2b3   c3 –b1 ·a2  c2a3   c3 +c1 ·a2  b2a3   b3 түрінде есептеледі.

Векторлар координаталармен берілсін:a =(X1,Y1,Z1) , b =(X2,Y2,Z2 ), c =(X3,Y3,Z3 )

abc =X1Y1  Z1X2  Y2  Z2X3  Y3   Z3 – a,b,c векторының аралас көбейтіндісін есептеу формуласы.

Векторлар координаталарымен берілген жағдайдағы компланарлық белгі:

X1Y1  Z1X2  Y2 Z2X3  Y3   Z3 =0орындалуы қажетті және жеткілікті.

 

Мысал:

a =(1;0;1);b (-2;1;0); c =(3;4;-5) векторлары компланар болады ма?

Шешуі:abc =1-2301410-5 =1·140-5 -0·-230-5 +1·-2314 =(-5-0)-0+(-8-3)=

-5-11=-16≠0

 a,b,c векторлары компланар емес.

 5.Практикалық бөлім

 a жәнеb нөлдік емес векторлары үшінa+b=a–b  теңдігі орындалатын болса, онда a |̲b болатындығын дәлелде.

Шешуі: Егер a жәнеb векторлары арқылы параллелограмм құрастырсақ,ондаa+b  жәнеa–b  векторлары параллелограмның диагоналдарымен беттеседі де, диагоналдардың ұзындығы|a+b | және|a–b | ұзындықтарын құрайды. Есeптің шарты бойынша диагоналдардың ұзындықтары тең болғандықтан, құрастырылған параллелограмм тік төртбұрыш болып табылады да , бұданa  |̲  b . Дәлелденді.

2.OA векторы   OX,  OY,  OZ  осьтерімен сәйкесα=π3 ,    β= π3 ,     γ=π3 бұрыш жасайды. B нүктесінің координатасы(-2;-2;-2√2)тең деп алып,OA жәнеOB векторлардың арасындаға бұрышты тап.

Шешуі:n векторы OA векторымен бағыттас бірлік вектор болсын.

Олай болса,n =cosπ3;cosπ3;cosπ4 , немесеn =12;12;22 , алOB (-2;-2; 22 )

|OB| =(-2)2+(-2)2+(-222 )=4+4+8 =16 =4

cos(,OA, ^ OB )=n∙OB|n|∙|OB| =12∙-2+1     2     ∙-2+22∙(-22)1∙4 =-1

Бұдан,(OA ,^OB )=180°

3. a = (7;-4)векторыныңb =(-8;6) векторына параллель болатын осьтегі проекциясының ұзындығын тап.

А

a

О           b        К         В

 Шешуі:

OK=ПРba =|a |∙ cosφВекторлардың скалярлық көбейтіндісін қолданамыз:

a∙b =|a |∙ |b |∙ cosφ, ПРba =a∙b|b|b  –a векторы проекцияланған осьтің бағыттаушы

векторы болғандықтан,    ПРba =7∙-8+(-4)∙664+36 =-56-2410 =-8, олай болса,|ПРba |=8.

4. a= (-1;1), в= (1;3) деп алып c =4a +b , d =–14a +47b векторларының арасындағы

φ=       (c,d )   бұрышын табу керек.

Шешуі:c,d   векторларының координаталарын табамыз.

c =4(-1;1)+(1;3)=(-4;4)+(1;3)=(-4+1;4+3)=(-3;7), d=–14-1;1+74(1;3) =

(14 ;-14 )+(74 ;214 )=(2;5)           Бұл векторлардың модульдері

|с |=(-3)2+72 =58,  |d|=22+52 =29

с ,d векторларының скаляр көбейтіндісінің формуласынан

cosφ= cc∙dd =-3∙2+7∙558∙29 =292∙29∙29 =12 , ал бұдан φ=45°аламыз.

5.m мен n –нің қандай мәндерінде a =(1;m;-2) мен b =(-2;3;n) векторлары коллинеар болады?

Шешуі:Нөл емес a  мен b  векторлары коллинеар болса,онда b=α∙a  теңдігі орындалатындайα саны табылады.

b=α∙a (-2;3;n)=α∙(1;m;-2) (-2;3;n)=(α;αm;-2α) α=-2 αm=3,-2α=n.

Бұл теңдіктерден m=–32 , n=4 аламыз.

Жауабы:a =(1-32 -2), b =(-2;3;4)

 6.m-нің қандай мәнінде a=(1;3;-2)  мен b=(-1;m;4)  векторлары ортогональ болады?

Шешуі: Векторлардың скаляр көбейтіндісінің қасиетін пайдаланамызa∙b=1∙-1+3∙m+-2∙4=0 . Алынған таңдауды шешеміз, 3m=9,m=3

7.a-2;1;3 векторыберілген. ЕгервектордыңбасыныңкоординатасыA(5;4;-1)берілсе,ондаұшыныңкоординатасынтап.

Шешуі: ВектордыңұшыB(x;y;z)белгісіз,  a=AB болғандықтан, векторыныңкоординатасынтауып, a векторыныңсәйкескоординаталарынтеңестіреміз.

 

AB=(x-5y-4z+1) , x-5=-2,x=3

                                                 y-4=1,y=5

                                                 z+1=3,z=2          B=(3;5;2).

8.A(-3;2;1),B(2;-1;-3),C(1;-4;3),D(-1;2;-2)нүктелерініңкоординаталарыберілген.|2AB+3CD| тап.

Шешуі:  AB менCD  векторларының координаталарын табамыз.

AB=(2+3;-1-2;-3+1,)AB =(5;-3;-2)

CD=-1-12;+4;-2-3,CD=(-2;6;-5)

2AB=10;-6;-4,3CD=(-6;18;-15)

2AB+3CD=10-6;-6+18;-4-15,=(4;12;-19) |2AB+3CD |=42+122+(-192) =521

9.Егер n=245,m=(101)  векторларының координаталары белгілі болса,ондаa=m–3n-(3m-4n) векторының ұзындығын тап.

Шешуі:a=(m–3n) -(3m-3n )=n-2mn=2;4;5,2m(2;0;2)

a =n-2m =(2-2;4-0;5-2)=(0;4;3)                                                    |a |=02+42+32 =5.

 10.a=(m;m+1;2) векторыныңұзындығы 3-тенкемболатындайm–ніңбарлықмәндержиынынтап.

Шешуі:    |a |=m2+(m+2)2+22 <3  2m2+2m+5 <3   2m2+2m-4<0m2+m-2<0   (m+2)(m-1)<0

+       °                                                °        +

-2                     –                      1

Жауабы:mϵ (-2;1).

11.Егер  A(-2;-1;2), B(4;-3;6),C(-1;a-1;1),D(-4;-1;a)болса, онда a–ның қандай мәнінде AB және CD векторлары коллинеар болады.

Шешуі:AB=4+2;-3+1;6-2, AB6;-2;4CD=-4;+1;-1-a+1;a-1CD=(-3;-a;a-1)

Векторлардың коллинеарлық шарты бойынша:6-3=-2-a=4a-1 .Сонда –a=-3∙(-2)6=1,a=-1 a=-1=-3∙46=-2 a=-1

Жауабы: a=-1

12.Егер   a=(x;y;3) векторы b=(3;1;-1) векторына және ОҮ осіне перпендикуляр болса, онда х+у қосындысын тап.

Шешуі:Есептің шарты бойынша a  |̲   b сондықтанx∙3+y∙1+3∙(-1=0)

3x+y=3 ОҮ осінің бойынан  j=(010) бірлік векторын алайық.a  |̲   b  шартынан

x∙0+y∙1+3∙0=0 y=0

3x+y=3y=0y=0x=1 x+y=1       Жауабы: 1.

13.A(1;-2;3) және B(2;4;-3) нүктелері берілген.AB  векторын тік бұрышты (i;j;k )базисі арқылы жікте.

Шешуі:  AB=2-1;4+2;-3-3, AB=(1;6;-6) табамыз.AB=i+6j-6k .

14.|a |=2,|b |=3 ал олардың арасындағы бұрыш 135°-қа тең.Векторлардың скалярлықкөбейтіндісін тап.

Шешуі:

a∙b=a∙b∙cos135°=2∙3∙–22 =-32.

Жауабы:  -32.

15.ABC тең қабырғалы үшбұрыштың қабырғасы 1-ге тең.      M және N нүктелері сәйкес AB жәнеBC қабырғаларының ортасы деп алыпMN∙CA  скаляр көбейтіндісін тап.

Шешуі:MN∙CA=|MN|∙|CA|∙cos180°=12∙1∙-1=-12

 

B

 

 

M              N

 

A                           C                             Жауабы: –12

 

16. A(3;-2;1),B(3;0;2),C(1;2;5)үшбұрыштың төбелерінің координаталары берілген. BM медианасы мен AC табанының арасындағы бұрышты тап.

 

Шешуі: MB жәнеMA векторларының арасындағы бұрышты табамыз.Mнүктесінің координатасы:

 

M(3+12 ;-2+22;1+52 );M(203).

MB,MA  векторларының координаталары:

 

MB(3-2;0-0;2-3)бMB1;0;1MA3-2;-2-0;1-3,MA(1;-2;-2)

 

cos α=1∙1+0∙-2+-1∙(-2)12+02+(-1)2∙12+(-2)2+(-2)2 =32∙3 =12             α=arccos12     α=π4 .

 

Жауабы:α=π4 .

 

17. және векторларынан құрастырылған параллелограмның ауданын тап.

В

a

 

φ

А                     b                      D

Шешуі:SABCD=AD∙AB∙sin α .

AD=|b |=12+02+22=5 ; AB=|a |=02+22+12=5 ;   cosφ=0∙1+2∙0+1∙25∙5 =25 .

sinφ=1-cos2=1-225=215

Олай болса, SABCD=5∙5∙215 =21 .

Жауабы:21

18. a,b,c векторларының ұзындықтары бірге тең, (a,^b )=(b,^c )=(a,^c )=60° a жәнеb +c векторлары арасындағы φбұрышын тап.

Шешуі:

cosφ=a∙(b+c)|a|∙|b+c| cosφ=a∙b+a∙c|a|∙|b+c| .

a∙b=|a|∙|b|∙cos     (a,b )=1∙1∙12=12

a∙c=|a|∙|c|∙cos     (a,c )=1∙1∙12=12

|b+c |=(b+c) =b2+2b∙c+c-2=1+2∙1∙1∙cos60°+1=3

cosφ=12+121∙3=13 φ=arccos13

Жауабы:arccos13

19.a жәнеb  векторларының арасындағы бұрыш 60°, c |̲a, , c |̲b,    бірлік векторлар екені белгілі болса, онда a+b+c қосынды вектордың ұзындығын тап.

Шешуі:

z

ac

y                                                     a1;0;0b12;32;0,c(0;0;1)

x                             b

a+b+c=1+12+0;0+32+0;0+0+1=(32;32;1)

|a+b+c |=94+34+1 =2

Жауабы:2

20.ABCD    ромбысының қабырғасы 1-ге тең жәнеA=60°.Ромбының AС диоганалінің  ұзындығын табу керек.

В

С

А                                                     Д

Суреттен AC=AB+AD көреміз.Скаляр көбейтіндінің қасиетібойынша,  |(AC) 2 |=(AB+AD )=|AB |+2∙AB∙AD+AD=1+2∙AB∙AD∙cos60°+1=2+2∙12=3  аламыз.Бұдан, |AC |=3.

21.Егер p векторы q (-8;16;4) векторымен бағыттас және|p |=21  болса,ондаp векторының координаталарының көбейтіндісін тап.

Шешуі: p ↑↑q болғандықтан,p=k∙q орындалады.

Бұданp=(-8k16k4k)p=-8k2+16k2+(4k2) =21.

64k2+256k2+16k2=21

336k2=21

k2=21336k2 =116k2=14

p2=-8∙14 16∙14 4∙14=(-241)

-2∙4∙1=8

Жауабы:-8

22. a менb векторларын өзара перпендикуляр деп алып, қосындысы мен айырмасының скалярлық көбейтіндісін тап.

(a +b )(a –b )=aa–b+ba–b=aa–ab+ba–bb=a2–b2.

23. MABCD дұрыс төртбұрышты пирамиданың MO  биіктігі 7-ге, ал бүйір қыры 14-ке тең, ондаMO∙MC  скаляр көбейтіндісін тап.

Шешуі:    MOC-дан

M                               CMO=α деп белгілейік.

cos α=MOMC=714=12 α=60°

Олай болса,

α MO∙MC= |MO |∙ |MC |cosα=98∙12=49

7

B

C

 

O

A                                               D

24. a жәнеb коллинеар векторлар.Осы векторлардың белгісіз координаталары p және q-дің сан мәндерін табыңдар,егерa0,5p7cq,-0,153,5.

Шешуі: a жәнеc векторларының коллинеарлығының белгісі бойынша:

0,5q=p-0,15=73,50,5q=73,5;                  q=0,5∙3,57=0,25

p-0,15=73,5 ;           p=7∙(-0,15)3,5=-0,3

Жауабы:p=-0,3;   q=0,25

25. ABCD дұрыс тетраэдр. (AB+BC )(AB–BC )+AD(AC–AB) векторлық өрнекті ықшамдаңыз.

Шешуі: ABCD дұрыс тетраэдр болғандықтан барлық қырларының ұзындықтары тең болады.

(AB+BC)AB–BC+ADAC–AB=AB2–BC2+AD∙AC–AD∙AB=AB2–AB2+AD2–AD2=0

Жауабы:0

26.Егер x=1;2;-4,p=0;3;1,q=1;0;2,r=(-2;1;4) болса, ондаx векторын p,q,r векторлары арқылы жіктеңіз.

Шешуі: x векторын қалған үш вектордың сызықтық комбинациясы түрінде көрсетуге болады.

x=αp+βq+γr мұндағы  α,β,γ -ды табу керек.

Векторларға сызықтық операцияларды (векторлық санға көбейту және векторларды қосу) қолданып табамыз.

αp+βq+γr=α0;3;1+β1;0;2+γ-2;1;4=0;3α;α+(β;0;2β)

+-2γ;γ;4γ=0+β-2γ;3α+0+γ;α+2β+4γ=(β-2γ;3α+γ;α+2β+4γ)

Пайда болған векторx=(1;2;-4)  векторына тең.Сондықтан,тең векторлардың сәйкес координаталары тең болады.

β-2γ=1,3α+γ=2,α+2β+4γ=-4β=1+2γα=2-γ3  2-γ3+21+2γ+4γ=-4

2-γ3+21-2γ+4γ=-4|∙3

2-γ+61+2γ+12γ=-12

2-γ+6+12γ+12γ=-12

23γ=-20

γ=2023;β=1+2∙–2023=1∙4023=-1723;α=2-(-2023)3=2+20233=46+2023∙3=2223

α,β,γ-дың табылған мәндерін орнына қоямыз:

x=2223p–1723q–2023r

27.a және b  векторлары коллинеар ма?Мұндағы

a=3p–q; b=p+2q ;p=2;0;3,q=(4;5;-6)

Шешуі: a және b векторлары  коллинеар болу үшін, олардың сәйкес координаталары пропорционал болуы қажет.

a=3p–q=32;0;3–4;5;-6=6;0;9–4;5;-6=6-4;0-5;9+6=2;-5;15

b=p+2q =(2;0;3)+2(4;5;-6)=(2;0;3)+(8;10;-12)=(10;10;-9).

Сәйкес координаталарының пропорционалдығын тексереміз:

210≠-510≠15-9  орындалмайды. Олай болса a және b  векторлары коллинеар емес.

28.Табан қабырғасы 3 -ке тең DABC дұрыс үшбұрышты пирамида берілген.Бүйір қырлары табанына 60° бұрышпен көдбеген.|DA+CB+AC |табыңдар.

Шешуі:                                                                                         D

DA+CB+AC=DA+AC+CB=DB

OB=R дұрыс үшбұрышқа сырттай

сызылған шеңбердің радиусы.

A                                                                                  60°                                                                                  B

ОВ=a3=33=1 DOB-дан                                           O

DB=OBcos60°=112=2 C

Олай болса,|DA+CB+AC |=|DB |=2

29-мысал.ABCDA1B1C1 D1 -параллелепипед.

Келесі өрнекті ықшамдаңыз:

AC+BB1+BA+D1B+B1D1+DC

Шешуі:AC+

B1BB1+BA+D1B+D1B1+DC=

C1AC+CC1+C1D1+D1B+BD+DC =AC+

(CC1+C1D1+D1B+BD+DC )=AC+O=AC

A1

C

A                                D

30. ABCDA1B1C1D1 кубының қыры 1-ге тең. |DC1–DA1 | табыңыз.

 

Шешуі:DC1–DA1=A1C1

B1                                                    Қабыр,асы а-ға тең шаршының

C1                    диагоналы    a2 тең.

                                   A1C1=1∙2=2

|DC1–DA1 |=|A1C1 |=2

A1

C

A                                D

31.Егер AC=AB–X–CD  болса, АВСD тетраэдрдегі X  векторын көрсетіңіз.

Шешуі:

X=AB–CD–AC=AB–CD+CA=CA+AB–CD =

CB–CD=DB,X=DB

32.a=1;2;8жәнеb=(0;-4;10) векторларынан құрастырылған параллелограмның ауданын тап.

Шешуі:|c |=a ˟b векторлық көбейтіндіні қолданып, параллелограмның ауданын

табамыз;    c=ijk1      2      80  -4     10 =i∙2        8-4       10 –j∙1      80     10 +k∙1      20-4 =52i-10j-4k,

S=|c |=522+–102+–42=2820  (кв.өлшем)

6.Кейбір векторлық қатынастар

 1-негізгі теңсіздік. Барлық (ABC) үшбұрыштары үшін мына теңдікMA+MB+MC=0 орындалады. Мұндағы М (ABC)  үшбұрышындағы центрлік нүкте (медианалардың қиылысу нүктесі).Бірінші тепе-теңдікті дәлелдейік.

B        Дәлелдеуі: М (АВС) үшбұрышының центрлік

нүктесі болсын.М нүктесін үшбұрыштың

Mтөбелерімен қосамыз. МВ түзуі (АВС)

үшбұрышының  АС қабырғасын нүктесінде D

қияды. D нүктесі АС қабырғасының ортасы.

ВМтүзуінің бойынан МЕ= ВМ болатындай Е

A                 C           нүктесін тауып оны А және С

нүктелерімен  қосамыз. АМСЕ

Eпараллелограмнан ME=MA+MC ,ал

MB=-ME болғандықтан

MA +MB+MC=0 .Бұл теңдікті есеп

шығаруда қолданайық.

№   1 – есеп (АВС) және (A1,B1,C1 ) үшбұрыштарында медианалардың қиылысу нүктелері беттесетін болсын. AA1,BB1 жәнеCC1  векторлары компланар болатынын дәлелдейік.

Шешуі:

MA+MB+MC=     (1)

MA1+MB1+MC1=      (2)

• теңдіктен (2) теңдікті мүшелеп алу арқылы мынадай теңдік аламыз:

AA1+BB1+CC1=0    (3)

(3)теңдік AA1 , BB1 жәнеCC1  векторларының компланар болатынын көрсетеді.

№  2 – есеп М нүктесі (АВС) үшбұрышының центрлік нүктесі болып және О кеңістіктегі кез-келген нүкте болғанда мына теңдіктің

OM=13 (OA+OB+OC )        (1)

Орындалатынын дәлелдейміз.

Дәлелдеуі: Келесі векторлық теңдіктерді жазайық.

OM+MA=OA

OM +MB=OB

OM+MC=OC

Бұл теңдіктерді мүшелеп қосу арқылы мына теңдікті аламыз.

3OM+MA+MB+MC=OA+OB+OC бұдан

OM=13 (OA+OB+OC )        (1)

Бұл теңдікті де негізгі векторлық теңдіктердің бірі ретінде қарастыруға болады және есеп шығаруға жиі қолданылады.

№  3 – есеп   a, b, c–үшбұрыш қабырғалары болса, оның медианаларының квадраттарының қосындысы неге тең болады.

Шешуі: І- теңдіктің екі жағын да квадраттау арқылы мынаны табамыз

MA2+MB2+MC2+2MAMC+2MCMA=0    (1)

 ABCбойынша.

AB=MB–MA

BC=MC–MB

CA=MA–MC

Бұл теңдіктің әрбірін квадраттау арқылы мынаны табамыз.

2MAMB=MA2+MB2-c2

2MA MC=MB2+MC2-a2

2MC MA= MC2+MA2-b2

(1)-ге қою арқылы 3(MA2+MB2+MC2 )=a2+b2+c2,  ал MA=23ma,  MB=23mb

MC=23mc-болғандықтан ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2) .

II-негізгі теңдік. АВС үшбұрышының АС-қабырғасы бойынан  нүктесі  D алынған

B

A                                               D                               C

AD:DC=m:nболатындайетіпалынған. Сонда келесі теңдіктердің орындалатынын дәлелдеу керек.

BD=nm+nBA+mm+nBC     (II)

Дәлелдеуі:АВСбойынша.

AC=BC–BA

AD=mm+nAC=mm+nBC–mm+nBA

BD=BA+AD=BA+mm+nBC–mm+nBA=mm+nBA+mm+nBC

II-теңдікті есеп шығаруға пайдаланайық.

№ 4 – есеп АВС үшбұрышының СС1  медианасының ортасындағы Е нүктесі арқылы ВС қабырғасын нүктесіне қиып өтетін АЕ-түзуі жүргізілген:АЕ:ЕҒ  және СҒ:ҒВ – қатынастарын табу керек.

Шешуі:A𝐵=b жәнеAC=c  векторларын енгіземіз. СҒ:ҒВ=m:n болсын

ІІ- формула бойынша.

AF=mm+nb+mm+nc және

AE=xAF=zmm+nb+znm+nc            (1)

мұндағы о<х>1.

Е- нүктесі СС1  медианасының ортасындағы нүкте екенін ескере отырып АЕ-үшін келесі өрнекті жазамыз.

AE=12AC+12AC1=12c+12b.              (2)

Векторды екі коллинеар емес векторларға жіктеуді қолдана отырып   (1)  және (2) теңдіктен алатынымыз.

xmm+n=14.xnm+n=12                              (3)

Жүйенің бірінші теңдеуін мүшелеп екіншісіне бөлу арқылыm:n=12 немесе CF:FB=12 болатынын табамыз.

Жүйенің екі теңдеуін мүшелеп екіншісіне бөлу арқылы x=34 болатынын немесе AE:EF=3:1 болатынын табамыз.

III-негізгітеңдік.Егер М мен N нүктелері АВ мен СD кесінділерін АМ:МВ=CN:ND=m:n-болатындай қатынаста бөлсе, онда мына теңдік орындалады.

MN=nm+nAC+mm+nBD       (III)

Дәлелдеуі:ІІІ-теңдікті дәлелдеу үшін ІІ теңдікті пайдаланамыз.

O-нүктесі АВ мен С кесіндісіне тиісті емес кез-келген нүкте.

О нүктесін А,М,В,С,N және -D

B                   нүктелерімен қосып

M                OA,OM,OB,OC,ONжәне OD–

векторларын қарастырамыз.

 

D         OM=nm+nOA+nm+nOB

 

ON=nm+nOC+nm+nOD

N

MN=ON–OM=nm+nOC–OA+

C                                                           nm+nOD–OB=nm+nAC+mm+nBD.

 

O

IV-негізгітеңдік.АВСD тетраэдрі берілген. Тетраэдрдің АВС жағының М нүктесі алынған.

DM=αDA+βDB+γDC   және α+β+γ=1-болатынын дәлелде.

Дәлелдеуі: М нүктесі АВС                                              D

үшбұрышының ішкі нүктесі

болсын.А және М нүктелері

арқылы ВС қабырғасы Е                                           M

нүктесінде қиятын түзу

жүргіземіз. Е нүктесі ВС                              A                 B

қабырғасын  m:n

қатынасындай яғни ВЕ:ЕС=                 E

m:nболатындай болсын.                 C

ІІ-формула бойынша.

DE=mm+nDC+nm+nDB

Келесіде М нүктесі АЕ кесіндісін  p:qқатынасындай, яғни

АМ:МЕ=p:q болатындай бөлсін.Сонда

DM=pp+qDE+qp+qDA=pp+qmm+nDC+mm+nDB+

pp+qDA=qp+qDA+pp+q∙mm+nDB+pp+q∙mm+bDC   болады.

Яғни, DM -векторы DA,DB және DC векторлары бойынша жіктеледі. Бұл жіктеудегі коэффициенттердің қосындысы 1-ге тең болады.

qp+q+pp+qnm+n+pp+qmm+n=mq+mq+np+pmp+q(m+n)=

qm+n+p(m+n)p+q(m+n)=p+q(m+n)p+q(m+n)=1

I және IV – теңдіктер көптеген геометриялық есептердің шешуін табуға көмектеседі.

Параллелепипедтің көлемі.

a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2,c=x3,y3,z3 векторлары арқылы құрастырылған

параллелепипедтің көлемі V=±x1         y1x2        y2x3y3z1z2z3  формуласымен өрнектеледі.

Үшінші рет анықтауыш оң болса,плюс таңбасы қойылады, ал егер теріс болса, онда минус таңбасы қойылады.

Мысалы:        a=1,2,3,b=-1,3,4,c=(2,5,2)  векторларынан құрастырылған параллелепипедтің көлемін тап.

V=±112235342 =±(1∙3∙2+3∙(-1)∙5+2∙2∙4-3∙3∙2-

1∙5∙4-2∙-1∙2 )=±(6-15+16

18-20+4)=±26-53=±-27=27.

a,b,c векторларыныңбаснүктелері бір нүктеге түйістіргенде олар бір жазықтықта орналасса, онда ол векторлар компланар болады. Белгісі:a=b+μc

Егер векторлар координаталарымен берілсе, яғни ax1,y1,z1, bx2,y2,z2,  cx3,y3,z3 болса, онда олардың компланарлық белгісі:( дәлелдеусіз қабылдаймыз)

x1x2x3y1y2y3z1z2z3 =0

Мысалдар. 1) a=i–j+2k,b=3i+j,c=mi+2k  векторлары компланар болатындай mмәнін тап.

13m-110202 =2-2m+6=0→ m=4.      a=qb+pc  орындалама, тексерейік;

a=1,-1,2=q∙3,1,0+p∙(4,0,2)→1=3q+4p-1=q+02=0+2pq=-1p=1a=-b+c , яғни векторлар компланар.

2)Берілген a,b,c  векторлары компланар бола ма? Анықтаңыздар. Компланар болған жағдайда бір векторды қалған векторлар арқылы өрнектеңіздер.

а) a=5,2,1;b=-1,4,2;c=-1,-1,6;

б) a=6,4,2;b=-9,6,3;c=-3,6,3;

в) a=-6,-18,12;b=-8,24,-16;c=(8,7,3)

Шығарылуы: а) 5-1-124-1126=120-4+1+4+12+10≠0  векторлар компланар емес.

б) 6-9-3466233=2∙3∙3∙3-3-1222111=

18∙(3∙2211-2∙-3-111+1∙-3-122) =18∙-2∙-2-6+2=0

Векторлар компланар: с=qa+pb

(-3,6,3)=q∙6,4,2+p∙(-9,6,3)→-3=6q-9p6=4q+6p3=2q+3p→-1=2q-3p3=2q+3p3=2q+3p→

4q=2, q=12,p=23                  c=12a+23b

в) 6-88-1824712-163=6∙8∙1-18-3372-23=48∙9+48-14-48+14-9=0

векторлар компланар. Мұндаa  жәнеb  векторлары коллинар, ал c векторы оларға коллиниеар емес. Сондықтан c векторын   a және b векторлары арқылы сызықтық түрде өрнектеуге болмайды.

Қорытынды

Берілген жұмыста векторға байланысты қысқаша мағлұматтар беріліп, бірнеше есептер шығарылды.

Векторлық ақпарат қазіргі заман математикасында қолданылуымен шектелмей, жоғары оқу орындарында оқылатын техникалық,математикалық пәндердің оқулықтарында лайықты орын алады. Векторлық ақпараттың атқаратын рөлінің маңыздылығы соншалық- аталмыш курстар векторлардың өздеріне қажетті тарауларын толығымен қамтиды. Дифференциалық геометрия, аналитикалық геометрия, математикалық физика, теориялық физика векторлар негізінде баяндалады.

Қазіргі кезде экономикалық есептердің көпшілігі векторлық ақпараттың көмегімен шешіледі.Компьютерді пайдаланып дененің кескінін жасау үшін векторлық графикапайдаланылады.

Сызықтық программалауда вектордың көмегімен толып жатқан практикалық мәселелер шешіледі.

Векторлық есептеулер математиканың жас салаларының біріне қарамастан, өзінің маңыздылығының арқасында, қолдану ауқымының кеңдігі арқасында кейінгі елу-алпыс жыл шамасында көптеген елдерде мектеп математикасына еніп, оның құрамдас бөлігі болып, орнығып алды.

Қорытындылай келе, координаттар және векторлық алгебра тәсілдерін қолданаотырып, олимпиадалық есептерді тиімді тәсілмен шығардым.

1-мысал. Дөңес АВСD төртбұрыш үшінAB2+CD2=AC2+BD2       (1)    теңдігі орынды. ВС  және АD арасындағы бұрышты тап.

Шешуі:Есептің шешуін векторлық алгебра тәсілімен шешеміз.Алдымен сүлбелік сызбада векторлық бағытын көрсетейік.Онда векторларды қосу ережесіне сай төмендегі векторлық теңдеулерді жазамыз.

B                       C

AB+BC=AC  (2)

BC+CD=BD      (3)

AB+BD=AD      (4)

AC+CD=AD       (5)

A                                                                                   D

(2),(3) теңдіктерін AC-CD=AC-BD

Енді осы векторлардың скалярлық көбейтіндісін қарастырайық.

(AB-CD,AB-CD)=(AC-BD,AC-BD)

|AB2 |-| AB2 |, 2(AB,CD )=| AC|2 –|BD|2-2(AC,BD)

Есептің берілгенін,яғни /1/ теңдігін ескерсек,бұдан (АВ,СD)=(AC,BD)

(AD,BC )=(AD+BD,AC-AB )=(AD,AC )+BD,AC-|AB|2-(BD,AB)

(AD,BC)=AC+CD,BD-CD=AC,BD+CD,BD–AC-CD-|CD|2
(AD,BC )=(AB+BD,BD-CD )=AB,BD+|BD|2–AB,CD-(BD,CD)

(AD,BC )=(AC+CD,AC-BD)=|AC|2+CD,AC–AC,AB-(CD,AB)

/2/-/5/ векторлықтеңсіздіктеріненкелесіскалярлықкөбейтіндініқұрайық. Бұл теңдіктердің сол және оң жақтарын, / 1  / мен   / 6  / теңдіктерді және скаляр көбейтіндінің коммунативтік заңдылыққа бағынатынын ескере отырып, мүшелеп қоссақ (АD,DС)=0 теңдігін аламыз.

Бұдан А және ВС векторларының арасындағы бұрыш, (АD ,ВС)= 90 яғни ВС және АD қабырғалары тікбұрыш жасайтындығы шығады.

B

 

C

 

A                                          D

2-мысал. АВСD параллелограмының ауданы-S. К және М нүктелері  АС диагоналын теңдей үш бөлікке бөледі. Осы нүктелер D төбесі арқылы қарама-қарсы қабырғаларымен қиылысқанша түзулер жүргізілген. КРҒМ төртбұрышының ауданын тап.

Берілгені:SABCD =S

|AK|=|KM|=|MC|=13=|AC|

Табу керек: SKPFM

Шешуі:Есептіңшешуін координаталар тәсілі арқылы жүргіземіз.Сүлбелік сызбада көрсетілгендей (3-сурет) тік бұрышты координаталар жүйесін қарастырайық.

Ү

А(х;у)                                  Р(х+а/;у)

D(0:0)                                                      A(a,0)                 X

Aнүктесінің координаталары (х,у) болсын дейік,  яғни А(х,у). Демек, К,Р,Ғ,С нүктелерінің координаталары А (х,у) және параллелограмның табанының ұзындығы а арқылы өрнектеуге болады. Мұнда у- параллелограмның биіктігі,

S=SABCD =ay параллелограмның берілген ауданы.

Р(х+а/2;е),Ғ(х/2+а);у/2,С(а;0),D(0;0)

Ал К, М  нүктелерінің координаталарын кесіндіні берілген қатынасқа бөлу формаларын қолданып табамыз.

xK=xA+λKXK1+λK,   yK=yA+λKYK1+λK,

мұндағы

λK=|AK||KC|=13|AC|23|AC|=12

Бұдан

xK=2x+a3, y=23y,K(2x+a3,2y3)

Осы жолмен М нүктесінің координаталарын табамыз.

M(x+2a3,y3)

Есепке керекті барлық нүктелердің координаталары табылды, яғни векторлық алгебраны қолдануға болады.Ол үшін алдымен DP  және DF векторларының координаталарын анықтайық.

DP=x+a2,y , DFx2+a,y2

Екі вектордың векторлық көбейтіндісін пайдаланып        PDF үшбұрышының ауданын табайық.

DP*DF=     i,   j, k      x+a2,y,0x+a,y2,a = x+a2,yx+a,y2 k=xy2+ay4-xy-ay k=-34ayk

SDPF=12DP*DF=12*34ay=38ay=38S

Осы жолмен DКМ үшбұрышының ауданын табайық:

DK=2x+a3,23y,         DM=x+2a3,y3

DK*DM = i, j, k2x+a3,y,0x+2a3,y3,0= 2x+a3,2y3x+2a3,y3,0 k=-13ayk

SDKM=12DK*DM=16ay=16S

Онда КРҒМ төртбұрышының ауданы жоғарыда табылған DРҒ және DКМ үшбұрыштарының аудандарының айырымына тең.

Ұсыныс:

Абстрактылығы жоғары векторларды оқушыларға саналы да терең меңгерту үшін  , олардың векторды оқып  – білуге деген ынтасын арттыру үшін жаратылыстану- математика бағытындағы қолданбалы курс бойынша арнайы сабақтар жүргізілсе, оқушылар векторларды конкрустық және олимпиадада кездесетін геометриялық есептерді шешуде кеңінен қолдана білсе.

Қолданылған әдебиеттер:

 

1. Айдос Е. Ж., Балықпаев Т. О. «Жоғары оқу орындарына түсушілеріне арнаған математика » . Оқу құралы.- ЖШС РПБК «Дәуір». Алматы, 2006.

 

2. Под редакций М. И. Сканави. «2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы». ОНИКС «Мир и Образование». Москва, 2007.

 

3. М.Я. Выгодский. «Справочник по высшей математике » М, 1975.

 

 

4. И .П . Рустюмова. «Пособие для подготовки к ЕНТ по математике» Алматы: «Ғылым», 2005.

 

5. «Математика және физика». Ғылыми – әдістемелік журнал.

 

6. «Репетитор». Мектеп оқушыларына арналған математика және жаратылыстану журналы.
7. Тест тапсырмалар жинағы.

Шиелі ауданы № 45 «Ақ Орда» мектеп- гимназиясының 11«А» сынып оқушысы Нұржанқызы Балбыраштыың «Векторларды геометриялық есептерді шешуде қолдану»

атты ғылыми жобасына

 

Пікір

 

Нұржанқызы Балбыраштың «Векторларды геометриялық есептерді шешуде қолдану» атты ғылыми жобасындағы кіріспе бөлімінде векторлар қандай салаларда қолданылып жатқандығы жайлы мағлұматтар беріп, векторлық алгебраға қысқаша тоқталып өткен.

Зерттеу бөлімінде векторлық кеңістікті сызықтық алгебрамен байланыстыра отырып, векторлардың компланарлығын дәлелдеген. Векторларды геометрияның планиметрия және стереометрия бөліміндегі фигуралармен денелерге байланысты есептерді шығаруда жүйелі қолдана білген. Олимпиадада кездесетін геометриялық есептерді векторларды қолдана отырып жеңіл шеше білген.

Қорытынды бөлімінде векторлардың көмегімен бірнеше күрделі есептерді тиімді тәсілмен шығара отырып, векторларды неғүрлым тереңірек біліп, меңгере алған. Нұржанқызы Балбыраштың ғылыми жобасындағы алдына қойған мақсаттары толығымен орындалды деп, бұл жұмысы жоғары баға беруге лайықты деп есептеймін. 

 

Күнделік

 

Р/с	Тақырыбы	Атқарылған жұмыс	Күні	Қолы
1	Векторлық алгебра	М.Я.Выгодский «Жоғары математикаанықтамасы» кітабынан 117-145 беттегі векторлық алгебраның қысқаша теориялық мазмұнын жаздым.
2	Кеңістіктегі бұрышты координаттар жүйесі	М.Я.Выгодский «Жоғары математика анықтамасы» кітабынан 149-155 беттегі кеңістіктегі тік бұрышты координаттар жүйесіне теориялық мағлұматтар жазып, үшінші ретті анықтауыш көмегімен вектордың компланарлығын дәлелдедім.
3	Практикалық бөлім	И.П.Рустюмова «математикадан ҰБТ-ға дайындық жинағы»кітабының 535-540 беттерін пайдалана отырып,векторларға байланысты бірнеше есептерді шығардым.   Е.Ж.Айдосовтың «Жоғары оқу орындарына түсушілеріне арналған математика» оқулығынан планиметрия бөлімінің геометриялық есептерін шешуде векторларды қолдандым.
4	Кейбір векторлық қатынастар	Репетитор №4 2006 жылғы журналынан кейбір векторлық қатынастар жайлы теоремалармен танысып, сол теоремаларды қолданып,бірнеше есептер шығардым.
5	Параллелепипедтің көлемі	М.И.Сканави «Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған математиканың 2500 есептері» оқулығын пайдаланып,параллелепипедтің көлемін үшінші ретті анықтауышты пайдаланып есептедім
6	Қорытынды	«Математика және физика» ғылыми әдістемелік журналының №5,2005 жылғы басылымындағы олимпиадада кездесетін күрделі геометриялық есептерді векторды қолдана отырып шығардым.