ДӘРЕЖЕЛІ    ТЕҢДЕУГЕ  КЕЛТІРІЛЕТІН  ЕСЕПТЕРДІ  ШЫҒАРУ  ТӘСІЛДЕРІ

Кіріспе

Әрбір есеп  белгілі бір немесе бірнеше дидактикалық мақсаттарға  жету үшін  берілетіндігі  түсінікті. Дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шығару  тәсілдері дидактикалық  мақсаты мен  мазмұнына байланысты  математикалық  ұғымдарды  қалыптастыруға,  символикаларды  меңгеруге, дәлелдеуге  үйретуге, білім және біліктілікті  қалыптастыруға, ойлау қабылеттерін арттыруға т.б.  арналуы мүмкін. .

Сонымен қатар зерттеудің маңызы, көптеп кездесетін күрделі дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шығару  тәсілдері шығарудың әр түрлі әдістерін  жүйелі түрде үйрету, қарастырылып  отырған есеп түрін шығарумен  оқушыларды таныстыру оны шығара білу іскерліктерін қалыптастыру  болып табылады. Бұл жағдайлардың  қайсысында  болсын, есеп шығаруды  үйрету, көбінесе  оқушылардың ойын  дамытуға әсер етеді,  өйткені ол талдау және синтез,  салыстыру және қорыту сияқты  ойлау операцияларын орындауды талап етеді.   Сонымен бірге  оқушылардың  ойларының математикалық белсенділігін  тәрбиелеуге, арттыруға ықпал жасайды.

Шығармашылық – ол ойдың шарықтауы, адамның ой-өрісінің  пайда болуының  ең жоғарғы көрсеткіштерінің бірі.

Оқушылардың  үйренген бағдарламалық материалынан  есеп құрастыруы, оны шығара алуы, есепті қорытып сапалы түрде дәлелдеуі, формулаларды қорытуы т.б. олардың шығармашылық қабылеттерін қалыптастырады.

Есеп шығаруды үйрету  мен  оқушы әрекетінің  күрделі және динамикалық жиынын  білдіреді.  Бұл әрекетті белгілі бір жолмен  ұйымдастырады, бағыттайды, реттейді және  басқарады, шығарылған  есепке  қойылатын  талаппен үйлестіріледі. Бұл әрекеттің мәні  және мақсатты бағыттары,  сол сияқты есеп шығару барысында іске асырылатын  әдістер оның дұрыс  шешімін алу үшін  тиімді жағдай жасап қана қоймай, оның тәрбиелік мәнін және дамытушылық әсерін күшейтуге де ықпал етуі тиіс.

Жоспар

1. КІРІСПЕ

1.1 Дәрежелі теңдеуге келтірілетін есептер туралы мағлұмат

1.2 Дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шығару тәсілдері

2. НЕГІЗГІ БӨЛІМ

2.1 Дәрежелі теңдеулерге келтірілетін есептерді шығаруды қамтитын мәселелер

2.2 Дәрежелі теңдеуге келтірілетін есептерді шешуді анықтайтын жолдары

Аннотация

Зерттеу мақсаты: : Дәрежелі теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шығару  тәсілдеріне байланысты материал мектеп математика курсының елеулі бөлігін құрайды. Мектеп бағдарламасында оқытылатын математиканың  күрделі бөлімдерінің бірі дәрежелі теңдеуге келтірілетін  есептер болып табылады, себебі мектеп бағдарламасында бұл тақырыпқа аса айтарлықтай көңіл бөліну.

    Зерттеу әдістемесі: Оқушылар дәрежелі теңдеуге  келтірілетін  есептершешу дағдысын жеткілікті дәрежеде меңгермейтінін және оларды шешу барысында көп қателіктер жіберілетіні анық. Алайда «Дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептер» тақырыбы бойынша есептер қолдану емтихандарда кездеседі де, айтарлықтай қиындықтар тудырып отыр.

Ол теңдеулердің шешуін геометриядан тыс таза арифметикалық – алгебралық әдістер арқылы жүргізеді.      

    Теориялық және практикалық маңыздылығы: теңдеуге  келтірілетін  есептердің негізгі түрлерін ажырата білуді, оларды шешудің қажетті әдістері мен тәсілдерін қолдана білуді меңгеру оқушыларға екінші ретті беттерді сапалы негізде шешуге, оларды шешуде Дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерін теңдеулерін қарастыру бойынша шешудің әртүрлі тәсілдерін, соның ішінде мектеп оқулықтарында қарастырылмаған әдістерді қолдануға мүмкіндік береді.

Зерттеу жаңалығы: Дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерін теңдеулерін шешу бойынша қандай теңдеуді анықтайтын жолдарын қарастыру.

Абстракт

Цель исследования: материал представляет собой значительную часть курса математики, в зависимости от методов оснащения уравнений. Одним из наиболее сложных разделов математики, преподаваемых в школьной программе, являются уравнения, которые в равной степени проблематичны, поскольку школьная программа фокусируется на этом предмете.

Методика исследования. Понятно, что ученики недостаточно усваивают способность решать проблемы, связанные с решением проблем, и что многие ошибки решаются при их решении. Однако использование отчетов по теме «Уравнения для выравнивания» появляется на экзаменах и создает значительные трудности.

Он решает решение уравнений чисто арифметическим и алгебраическим методами вне геометрии.

    Теоретическая и практическая значимость: умение различать основные типы уравнений, умение использовать необходимые методы и приемы для их качественного решения, использовать разные методы решения задач при решении уравнений уравнений, в том числе методы, не предусмотренные в школьных учебниках. позволяет.

Новизна исследования: рассмотреть уравнение для определения уравнений уравнения задачи.

Abstract

Purpose of the study: The material is a significant part of mathematics course, depending on the methods of equipping the equations. One of the most complicated sections of mathematics taught in the school curriculum is equations that are equally problematic, as the school program focuses on this subject.

Technique of research: It is clear that pupils are not adequately mastered the ability to solve problem-solving problems and that many errors are solved in their solution. However, the use of reports on the topic «Equations for Equalization» appears in the exams and creates significant difficulties.

It solves the solution of the equations by pure arithmetic and algebraic methods outside geometry.

Theoretical and practical significance: The ability to distinguish between the main types of equations, the ability to use the necessary methods and techniques to solve them in a qualitative manner, to use different methods of solving problems in the solution of equations of equations of the equations, including the methods not provided for in school textbooks allows.

The novelty of the research: To consider the equation for determining the equations of problem equations.

1. Дәрежелі теңдеуге келтірілетін есептерді шығару тәсілдері  

Барлық  басқа  ғылымдар  сияқты,  математика  да  адамдардың  практикалық  мұқтаждықтарын  өтеу  әрекеттерінен  пайда  болғаны  белгілі.   Күнделікті  өмірде  туындаған  мәселені  математикалық  тілде  өрнектегенде  теңдеулер  ,  соның  ішінде , көбіне  дәрежелі  теңдеулер  пайда  болады. Яғни  практикалық  мәселені  шешу  үшін  дәрежелі  теңдеулерді  шешу  біліктілігі,  машығы  қажет  болады.

Кейбір  бірнеше  есептерді  шешу  барысында  бірдей  теңдеу  құрылуы  мүмкін.  Міне  осындай  жағдайда  оқушыларға  есептің  мазмұнына  талдау  жасай  отырып  оның  шешімін  табуды  үйрету  керек.Енді  осындай  жағдайға  бірнеше  мысал  келтірейік.

Мысал 1:   Екі  санның  бірі  екіншісінен  екі  есе  кіші.  Егер  кіші  санға  4-ті  қоссақ,  ал  үлкен  санға  8-ді  қоссақ  ,  олардың  арасындағы  осы  қатыс  өзгермейді.  Берілген  кіші  санды  табыңдар.

Мысал 2:  Бөлшектің  алымы  бөлігінен  екі  есе  кіші.  Егер  бөлшектің  алымына  4-ті  ,  ал  бөлігіне  8-ді  қосса  ,  бөлшектің  шамасы  өзгермейді.  Берілген  бөлшектің  алымын  табыңдар.

Мысал 3:  Ыдыс  кептіргіштің  әрбір  сөресіне  30  тарелка  қоюға  болады.  Алдында  жоғарғы  сөредегі  тарелкалар  санынан  екі  есе  аз  болды.  Кейіннен  жоғарғы  сөреге  тағы  да  4  тарелка  ,  ал  төменгі  сөрелердегіден  екі  есе  аз  болып  шықты.  Басында  жоғарғы  с өреде  неше  тарелка  болғаны?

Бұл  үш  есепті  шешу  үшін  құрылатын  теңдеу  біреу  ғана:  .  Бұл  теңбе-теңдік  болғандықтан  оның  шешімі  кез  келген  сан  бола  алады.  Дегенмен  ,  есептердің  шарттарына  қарасаңыз  олардың  шешімдерінің  кез-келген  сан  бола  алмайтынын  байқайсыз.

Алдымен    қарастырайық.  Есеп  шартындағы  екі  сан  да  оң  сан  екендігі  айтылған.  Сондықтан   теңдеудің  шешімі  кез-келген  сан  болғанымен  келген  есептің  жауабы  ретінде  ондағы  кіші  санды  кез-келген  оң  сан  деп  қарастыру  керек  болады.

2-мысалда  жай  бөлшек  туралы  сөз  болғандықтан  оның  алымының  мәні  натурал  сандардың  ішінен  ізделінеді.  Яғни  есептің  жауабы  ретінде  барлық  натурал  сандар  жиынын  алуға  болады.

3-мысалдағы  жоғарғы  сөредегі  тарелкалар  саны  да  натурал  санмен  есептеледі.  Дегенмен  бұл  жерде  әр  сөреге  30  тарелка  ғана  сиятынын  ескеру  керек.  Олай  болса  ,  жоғарғы  сөреде  басында  1  ,  2  ,  3  ,     ,  11  тарелка  ғана  болуы  мүмкін  ,  яғни  1≤х≤11.

4-мысал   Жайылып  жүрген  қояндар  мен  тауықтардың  жалпы  саны  39 ,  ал  аяқтарының  саны  100.  Қоян  нешеу  ,  тауық  нешеу? [18]

Теңдеу  құру  тәсілмен  меңгермеген  оқушылар  оны  логикалық  тәсілмен  шығара  бастайды.  Оны  шешеді  де.  Бірақ  оның  көп  уақыты  кетеді.  Сондықтан  оқушыларды  теңдеу  құра  білуге  ерте  бастан  баулу  қажет.

Сонымен  қатар  оқушылар  бұл  көбіне  жердегі  тауықтың  да  қоянның  да  саны  белгісіз  болған  соң  олардың  әрқайсысын  белгісізбен  белгілей  салуды  оңай  көреді  де  есепті  былай  шешеді.  х-тауықтың  саны ,  у-қоянның  саны.  Теңдеулер  жүйесі  құрылады

Бұл  сияқты  жүйелерді  шешу  бағдарлама  бойынша  6-сыныптың  соңғы  айларында  ғана  қарастырылады. Ал  бұндай  есептер  одан  бұрын  олимпиадалық  есептер  мен  шығармашылық  жұмыстарда  кездесіп  жатады.  Сондықтан  бұл  жүйені  шешкенде  бірінші  теңдеуді  2- көбейтіп  алып  былай  шешу  оқушыларға  ұғынықты  болады:

.Бұдан  соң      ,    табылады.

Бұндай  есептерді  шешкенде  оқушылардың  назарын  тауық  пен  қоянның  жалпы  санының  белгілі  екеніне  аудара  білу  керек. Сонда  оқушылар  бұндай  есепті  екі  белгісізі  бар  екі  теңдеулердің  жүйесіне  келтірмей-ақ  шеше  алатын  болады.х- тауықтың  саны  болсын.  Есеп  шартында  тауық  пен  қоянның  саны  39  екені  айтылған.  Онда  қоянның  санын  39-х  деп  алуға  болады. Енді  мынадай  теңдеу  құруға  болады:  .  Бұл  теңдеуді  шешіп    екені  табылады.  Тауықтың  саны  28  болса,  қоян  11  болғаны.

Мысал  5  Егер  тәуліктің  қалған  бөлігі  өткен  бөлігінен  үш  есе  артық  болса,  онда  қазір  қай  мезгіл  болғаны?

Шешуі:   х-тәуліктің  қалған  бөлігі  дейік  ,  онда  тәуліктің  өткен  бөлігі  24-х  сағ.  болады.  Есеп  шарты  бойынша    ,  бұдан  .  Демек,  қазіргі  уақыт  сағ.  болғаны.

Дәрежелі  теңдеулерге  келтірілетін  есептерді  шығаруға  үйрету  үшін  алдын-ала  өтілген  материалдарға  қайталау  жұмыстарын  жасатып   алу  керек.  Осындай  жұмыстар  кезінде  мына  мәселелерді  қамтыған  дұрыс.

а)  әр  түрлі  типтегі  есептерде  кездесетін  шамалар  және  олардың  арасындағы  байланысты  ,  тәуелділікті  анықтау;

ә)  есептің  мазмұнын  талдап  ,  оны  түсіну  үшін  қандай  сұрақтарға  жауап  іздеу  керек  екенін  ажырату;

б)  белгісіз  шаманы  анықтап  алып  ,  онымен  қалған  шамалардың  арасындағы  байланыстарды  өрнектеу;

в)  теңдеу  құру;

г)   теңдеуді  шешу;

д)  есептің  шешімін  тексеру;

Енді  бірнеше  есептердің  шығаруына  мысалдар  келтірейік.

Мысал  7  Екі  аэдромнан  бір  уақытта  тікұшақ  және  оқу  үйрену  ұшағы  бір-біріне  қарсы  ұшып  ,  кездескенге  дейін  тікұшақ  ұшақтан  100  км  кем  ұшқан. Қалған  жолды  ұшақ  1  сағат  20  минут  ,  тікұшақ  3  сағат  ұшқан.  Аэдромдардың  арасын  және  ұшақ  пен  тікұшақтың  әрқайсысының  жылдамдықтарын  табыңдар.

Шешуі:  Ұшақтың  кездескеннен  кейін  ұшқан  жолын  х  км  деп  белгілейік.  Онда  тікұшақ  кездескенге  дейін  х  км  ұшады.  Тікұшақ  кездескенге  дейін  ұшақтан  100  км  кем  ұшқандықтан  ұшақтың  кездескенге  дейін  ұшқан  жолы    км  ,  ал  тікұшақтың  кездескеннен  кейінгі  жолы  км  болады.  Кесте  түзейік

Теңдеу  құру. Тікұшақ  пен  ұшақ  бір  уақытта  ұшып  шыққандықтан  олар  кездескенге  дейін  бірдей  уақыт  ұшты. Сондықтан    теңдеуін  құруға  болады.

Теңдеуді  шешу.  , ,  , ,   ,

Зерттеу.  Теңдеудің   бірінші  түбірі  бұл  есептің  шартын  қанағаттандырмайды.

Тексеру.  Ұшақ  кездескеннен  кейін  200  км  ұшса  ,  кездескенге  дейін  300  км  ұшқаны  ,  онда  екі  аэдромның  арасы  500  км  болғаны.  Ұшақтың  жылдамдығы  (км/сағ)

Жауабы:  500  км  ,  150  км/сағ  ,  100  км/сағ.

Орта мектепте теңсіздіктерді шешудің мынадай негізгі түрлері қарастырылады.

Квадрат теңсіздіктің шешімі  х²-тың коэффициенті а мәні дискриминант D=b²-4ac-ға байланысты болады.

Егер а=0 болса, онда теңдеуің екі жағында бірдей (-1)-ге көбейтіп, оған мәндес қарама-қарсы таңбаға өзгертілген теңдеуін алуға болады.

Бүтін рационал теңдеу деп алгебралық теңдеудің мынадай түрін айтады:

Орта мектепте бүтін рационал теңдеудің сызықты, квадраттық, биквадраттық болатын кейбір түрлері қарастырылады.

Әдетте бүтін рационал теңдеуді шешу үшін орта мектепте интервалдар әдісі қолданылады. Ол үшін теңдеудің сол жағын сызықтық көбейткіштерге жіктеп алады.

Белгісіздері радикал таңбасы астында болып келетін теңдеулерді иррационал теңдеулер деп атайды.

Кейде  квадрат  теңдеулерді  құруға  берілетін  есептер  басқа  мазмұнда  да  беріледі.

Мысал  8    теңдеуін  шешпей  тұрып,  түбірлері  осы  теңдеудің  түбірлерінен  төрт  есе  артық  болатын  квадрат  теңдеу  құрыңдар.

Шешуі.  Виет  теоремасы  бойынша    ,    жаңадан  құрылатын  квадрат  теңдеудің  түбірлерін    және    деп  белгілеп  алайық.  Есептің  шарты  бойынша  ;  .  Виет  теоремасын  қолданып,,    мәндерін  табамыз.  Сонда  ізделінді  теңдеу    болғаны.

Мысал  9    теңдеуін  шешпей  тұрып  ,  түбірлерді  осы  теңдеудің  түбірлерінен  екі  есе  артық  болатын  квадрат  теңдеу  құрыңдар.

Шешуі:  Есепті  шығару  кезінде  Виет  теоремасын  қолдану  үшін  берілген  теңдеуді  келтірілген  квадрат  теңдеуге  айналдырып  аламыз.  Ол  үшін  теңдеудің  екі  жағын  да  9-ға  бөлеміз:  .  Бұдан      табылады.  Есептің  шарты  бойынша   ;  ;  бұдан    ,    табылады.  Осы  шамаларды  пайдаланып  ізделінді  теңдеуді  құрамыз:,  немесе

Осындағы  соңғы  есеп  бойынша  оқушыларға  есептің  шығарылу  заңдылығын  былайша  да  түсіндіруге  болады.  Ол  заңдылықтар:

а) Жаңа  құрастырылған  теңдеудің  барлық  коэффициенттерінің  таңбалары  берілген  теңдеудікіндей  болады;

ә) бас  мүшенің  коэффициенті  өзгеріссіз  қалады;

б)  Екі  түбір  де  екі  есе  арттырылғандықтан  жаңа  теңдеудің  екінші  коэффициенті  екі  есе  артады;

в) Жаңа  теңдеудің  екі  түбірі  де   бұрынғыдан  екі  есе  арттырылғандықтан  бас  мүше  бұрынғыдан  төрт  есе  артады;

Көптеген  жағдайларда  берілген  түбірлері  бойынша  теңдеу  құрастыру  есептерін  шешуге  тура  келеді.  Бұндай  есептерді  шешудің  бірнеше  тәсілі  бар.  Оларды  қарастырып  отырған  мәселеге  байланысты  қолдануға  болады.[20]

Теңдеулерге амалдар қолданғанда олардың мәндестігі жайындағы қағидарларды естен шығармаы керек.

1. Екі бөлігінде оң мағыналас теңдеулерді өзара мүшелеп көбейтуге

Екі бөлігі де теріс теңдеулерді тақ дәрежеге шығаруға болады.

Абитуриенттердің берілген теңдеулерді талдау дағдылары қалыптаспаған.

Теңдеуті нольге айналдыратын Х-тің міндерін табамыз:-3,2,4. Осы нүктелерді сан осьне салсақ ол төрт аралыққа бөлінеді. Кез келген интервалдан бір сан аламызда әр жақшаның тек таңбасын анықтаймыз. Мысалы,  пен -3-тің арасында теңдеудің таңбасы теріс екен. Х-тің мәндері бір интервалдан екінші интервалға өткенде теңдеудің сол жағының таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгеріп отырады. Ретімен ирек сызықтарды суретте көрсетілгендей етіп жүргіземіз.

Сан өсінің үстінде жатқан ирек сызықтын белгілері теңдеудің оң таңба қабылдайтын аралықтары болып шығады, ал осьтің төменгісі теріс таңба қабылдайтын аралықтарды көрсетеді. Сонда теңсіздік -3 пен 2-ге дейін, 4-тен -ке дейін аралықтарда оң мән қабылдайды. Бұл жауапты алдыңғы а( және б) системаларын қарастырғанда алғанбыз. Сонда есептің жауабы:

Нақты санның абсолют шамасына байланысты теңдеуді абитуриенттер дұрыс шеше білмейді, сондықтан бірнеше есепті толық шешіп көрсетейік.

Бұл шектеу енгізудің қажеттігі арифметикалық түбір ұғымымен байланысты.

Түбір астында айнымалысы бар теңсіздіктерді шешкенде түбір астындағы өрнектерге ешқандай шектеу қойылмайды.

Ал енді көрсеткіштік жіне логарифмдік теңдеулерді шешкенде жіберілетін қателер көбінесе олардың негізін ескермегендіктен болады.

Алдымен үздiксiз функцияның таңба тұрақтылық қасиетiн пайдаланып берiлген теңдеудің жалпы шешiмiн анықтап аламыз:

Алдымен модульдiң анықтамасына сүйенiп берiлген теңдеудің жалпы шешiмiн анықтап алайық:

Теңдеудің шешімі  болатын аралықтың ұзындығын табыңыз:

Бұл ережелерді нашар білетін не тіптен білмейтін оқушылар есеп шығаруда өрескел қателер жібереді.

Көп жағдайда екі жағын айнымаласы айнымалысы бар бөлшектің бөліміне көбейтіп жазады.

Әрқайсысын жеке-жеке шешемізде жауабын біріктіріп ортақ шешімін табамыз.

Екерту: егер бөлшектің бөлімі оң сан болатын болса, онда ортақ бөлімге келтірілгеннен кейін бөлімін тастап кетуге болады.

Мысал  10  Түбірлері    және  -3  болатын  квадрат  теңдеу  құрыңдар:

Шешуі:

А)Виет теоремасын қолдану арқылы шығару   немесе

Ә)    және  -3  квадрат  теңдеу  түбірлері  болғандықтан    түрінде  жазуға  болады.  Оны  түрлендіріп    теңдеуін  шығарып  аламыз .

Б)  Теңдеулер  жүйелерін  қолдану  арқылы  шешу.

және  -3        теңдеуінің  түбірлері  болғандықтан     және    орындалады. Бұлардан     ,  теңдеулер  жүйесі  шығады.

Жүйені  шешіп   ал  екенін  табамыз.

Олардың  мәндерін  орнына қойғанда  немесе    теңдеуі  шығады.

Қорыта  айтқанда  дәрежелі  теңдеулерге  келтірілетін  есептердің  сан  түрлілігі  дәрежелі  теңдеулерді  мектепте  оқытудың  өзіндік  маңызы  зор  жұмыс  екенін  байқатады.

Қорытынды

Ғылыми жұмысты жазуда алдыма қойған басты мақсатым мектептегі дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шығару  тәсілдері. көрсетудің  әртүрлі және түрлендірулер әдісінің теориялық базасымен танысу, баяндалған әдістерді қолданып есеп шешуде пайдалану болды. Дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шығару  тәсілдерінің нақты түрлері және  оның қасиеттерінің тұжырымдары есептерді шешудің теориялық негіздемесі болады. Осы негізде мектеп матматематика курсының оқу-құралдарына сараптама жүргізіп, дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шығару  тәсілдері берілген есептерді шешу үлгісі қарастырылды.

Мектеп дәрежелі    теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шығару  тәсілдері екі негізгі функцияны атқарады. Салу есептерін шығару конструктивтік дағдыны қалыптастыруды және фигураларды пайдалануға негізделген геометриялық білімді дамытады.

Сонымен, салу есептері оқушылардың ойлауын дамытады, өз іс-әрекетін дәлелдей білуге үйретеді. Сондықтан салу есептеріне лайықты көңіл бөліп, жан жақты үйлесімді тұлғаны қалыптастыруда жетік пайдалана білу керек.