Секция: Математика
Жоба тақырыбы: «Анықталмаған теңдеулерді шешу жолдары»
Аннотация
Анықталмаған теңдеулерді шешу жолдары мектеп бағдарламасында аз
қамтылған. Сондықтан бағдарламадағы ЕҮОБ-табу және ЕКОЕ-ті табу әдістерін қолдана отырып теоремаларды дәлеледеуге пайдаланылды. Олимпиада есептерін шығарғанда анықталмаған теңдеулердің шешу жолы қарастырылады.
Аbstract
Ways of solving unspecified equations are little covered by the school curriculum.
Therefore, the program displays the paths of theorems argumentation using the methods of TSOU detection and TSOU detection. When solving Olympiad problems, the ways of solving unspecified equations are considered.
Мазмұны:
- I. Кіріспе бөлім. II. Негізгі бөлім.
- Анықталмаған теңдеулердің анықтамасы туралы мағлұмат беру.
- Егер a,b,c бүтін сандар болса, онда ax+by=c сызықтық теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу тәсілдерін анықтайтын теоремаларды қарастыру.
- Анықталмаған теңдеулердің бүтін сандар жиынындағы, натурал сандар жиынындағы шешімдерін қарастыру.
III. Қорытынды.
Кіріспе
Қазіргі ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір окушығасапалы және терең білім іскерліктің болуын, олардың шығармашылықпен жұмыс істеуін, ойлауға қабілетті болуын талап етеді.
Математика пәнін оқыту процесінің негізгі мақсаты – арнайы педагогикалық әдістермен мақсатты жүйелі түрде пайдаланып, оқушылардың интеллекттік, шығармашылық ойлауын дамыту болып, табылады.
Оқушылардың өз бетімен жұмысын қалыптастыру, оқушының пәнге деген қызығушылығы және қажеттілігінен туады. Өз білімін көтеру жекелеген оқушылардың өз бетімен жұмыс істеу дағдысын дамытып, шығармашылық белсенділігін арттырады. Оқушылар оқыту барысында -білім алады, ал содан соң оны қолдану – ары қарай шығармашылықпен үйлеседі.
Тақырыбы: Анықталмаған теңдеулерді шешу жолдары
Мақсаты: Анықталмаған теңдеулердің шешу жолдарын көрсете білу.
Міндеттері:
- Анықталмаған теңдеулерді шешу барысында қолданылатын теоремаларды тұжырымдай білу.
- Анықталмаған теңдеулердің шешу жолдарын олимпиада есептерін шығару кезінде көрсете білу.
Проблемасы – оқушылардың зерттеушілік қабілетін дамыту үшін танымдық
ізденіс, анықталмағантеңдеулердің бүтін сандар жиынындағы, натуралсандар жиынындағы түбірлерін таба білу.
Өзектілігі – математикадан алған білімдерін күнделікті өмірдегі түрлі мәселелерге қолдана білу, сонымен бірге анықталмаған теңдеулерді зерттеп, шешу жолдарын таңдай білу арқылы оқушылардың зерттеушілік қабілетін дамыту.
Гипотеза: Анықталмаған теңдеулерді шешу жолдарын (мектептен тыс) қорытып тұжырымдай білу.
Күтілетін нәтиже: Келешекте математика ғылымын дамыта алатын, олимпиада жеңімпазы бола алатын оқушы болу.
Анықталмаған теңдеу.
| 1 .Екі және одан да көп айнымалылары бар теңдеулерді анықталмаған | |
| теңдеулер депатаймыз. Анықталмағантеңдеулердің шешімі деп,осытеңдеуді қанағаттандыратын айнымалылар мәндерінің барлык жиынын айтады. Біз мұнда анықталмаған теңдеулердің бүтін сандар жиынындағы шешімдерін қарастырамыз. | |
Оны N={0.1.2…}- натурал сандар жиынында N*={ 1.2…} – оң натурал сандар жиыны Z={0.+ 1,+2…} – бүтін сандар жиынында теңдеулерді шешеміз.
| Біздің эрамыздың III ғасырында өмір сүрген грек математигі Диофант | |
| өзінің еңбектерін 13 кітаптан тұратын «Арифметика» жинағы түрінде калдырған. Бізге оның 6 кітабы ғана жеткен. «Диофанттық» Арифметикасы 189 есептен тұратын жинақ. Ол әрбір есептің шешуін, ал кейбір есептерді шешудің бірнеше тәсілдерін карастырады және оларға қатысты түсініктеме береді. Диофант өзінің «Арифметика» атты 2 – кітабында әртүрлі екінші дәрежелі анықталмаған теңдеулерді қарастырады. | |
| Анықталмаған теңдеулерді шешу үшін әдетте бізге белгілі сандардың | |
| бөлінгіштік белгілерін колданамыз. | |
| 2. | Егер а, b, с бүтін сандар болса, онда ах+bу=с сызықты теңдеуін бүтін | ||
| сандар қараст | жиынында шешу тәсілдерін анықтайтын бірнеше теоремаларды | ||
| ырайық. | |||
Теорема. 1. Егер(а,b)=d болса онда ах+bу=d теңдеуінің бүтін шешімдері бар.
| Дәлелдеу: Жеңілдік үшін (а,b) =d санын аныктауға арналған Евкли | д алго- | ||
| ритімі 3 қадамнан соң аяқталсын делік. Онда а=bq1+r1,b=r1q2+r2=r1 q2+d, r1=bq3 теңдігін аламыз. Осыдан r1=a-bq1, d=b-r1q2, теңдіктерінен r1-ді шығара отырып, d=b – (а – dq1)q2= -q2а+(1+q1q2) b теңдігін аламыз. х=-q2, у= 1+q1q2 сандары ах+bу=d теңдеуін канағаттандыратынын к Жалпы жағдайда теорема осы сияқты дәлелденеді. | |||
| бөліп Сонда өреміз. | |||
Теорема. 2. Егер (а,b)=1 болса, онда ах+bу=1 теңдеуінің кем дегенде бір пар(х,у) бүтін шешімі бар. Бұл теореманың дәлелдеуі 1-ші теоремадан шығады.
Теорема. 3. Егер(а, b) =d1және с саны d-ға бөлінбейтін болса, онда ах+bу=с теңдеуінің бүтін шешімі болмайды.
| Дәлелдеуі. Кері жорып, х0,у0 сандары берілген теңдеудің бүтін шешімдері | |
| болсын делік. а:b, b:d қатынастарынан с=ах0+bу0 болатыны шығады. | |
| Бұл теорема шартына қайшы, сондыктан теорема дәлелденеді. | |
Теорема. 4. Егер (а,b)=1 болса, онда ах+bу=с теңдеуінің барлық бүтін шешімдері х= х0с+bt, у = у0с-аt формуласымен аныкталады. Мұнда х0, у0 сандары ах+bу=1 теңдеуінің бүтін шешімдері, ал t кез-келген сан.
| Дәле | лдеуі. Алдымен (1) ф ң шешімдері болаты ында да ах+bу=а(х0с х0+bу0=1 болатынын
бір шешімі болсын. , у1 сандары (1) фор өрнектеуге болатын ері болғандыктан |
орм нын -bt)+ еск | уламен аны көрсетелік.
b(у0с-аt)=ах ердік. Енді |
қталатын х,у сандары ах+bу | =с | ||||||
| теңдеуіні | |||||||||||
| Шын | 0с+bу0с+аbt-аbt=с(ах0+bу0)=с х,у сандары ах+bу=с теңдеу | ||||||||||
| Мұнда а кандайда | інің | ||||||||||
| Онда х1 арқылы шешімд болады. Онда x1 Осыдан (су0+t2) теңдігін соңғы т бір бүті Сондық Егер (а, у=у1-аt | мула ын к
сх0, |
||||||||||
| өрсетелік. х0, у0 сандары ах+bу=1 теңдеуінің су0 сандары ах+bу=с теңдеуінің шешімі | |||||||||||
| -сх0= х1=с = с(а
алам еңдік н сан. тан х b) = 1 форму |
t1 жәнеy1-су0=t2 с х0+t1, y1=су0+t2 бо х0+bх0) +аt1+bt2=
ыз. (а,b)=1 болға t1=bt және t2= – аt |
андары д латынын
с+аt1 + bt ндықтан, болғанда |
а ах+bу=с теңдеуінің шешімі болады. ескере отырып, ах1+bу1=а(сх0+b)+ b 2 теңдігінен аt1+bt2=0, н/е аt1= -bt2 | ||||||||
| ғана орындалады. Мұнда t қандай да | |||||||||||
| =сх0+dt, у1=су0-аt. және x1,y1 санда лалармен аныкта | |||||||||||
| ры ах+b=с теңдеуінің бүтін шешімдері х=x1+bt, лады. Мұнда t кез-келген натурал сан. | |||||||||||
- 2006 жылы Республикалық Олимпиаданың аудандық кезеңінде келген есебі
№1
ху-х+у=2006 теңдеуінің барлық бүтін, теріс емес шешімдерін анықта Шешуі: ху-х+у=2005+1
ху-х+у-1=2005 (ху-х)+(у-1)=2005 х(у-1)+(у-1)=2005 (y-1)(х+1)=2005.
Енді 2005 санын көбейткіштерге жіктейік.
2005|5 401|401
2005=5 *401
Енді мына жүйелерді шешу арқылы: 1) у-1=5 y=6
x+1=401, x=400 2) y-1=401 y=402
x+1=5 x=4 3) x=0
y=2006
теңдеудің бүтін шешімдерін анықтадым.
Тексеру:
Жауабы: (400;6),(4;402;), (0;2006)
1) 400*6-400+6=2006 2400-400+6=2006
2006=2006 2) 4*402-4+402=2006
1608-4+402=2006
2006=2006
2009 жылы Республикалық Олимпиаданың аудандық кезеңінде келген есебі
х2-у2-х+у=10 теңдеуі натурал сандар жиынында шешіңдер.
Шешуі: х2-у2=(х-у)(х+у), енді топтау әдісі бойынша. (х-у)(х+у)- (х-у)=10,
| х-у=2 |
(х-у)(х+у)- (х-у)=10 (х-у) ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз. (х-у)(х+у-1)=10, енді жүйе құрамыз. 10=2*5 түрінде жазып аламыз.
1)х+у-1=5,
2) х-у=5
x+y-1=2
х=2+у 2+у+у-1 =5 2у=6-2 2у=4
у=2
x=5+y 5+y+y-1=2 2y=2+1-5
2y=-2
y=-1
x= 2+2 x=4 х=4 y=2.
(4;2)
x=5+(-1) x=4 x=4 y=-1.
(4;-1)
Енді 10= 1*10 болғандықтан
(х-у)(х+у-1)=1*10, тағы жүйе құрамыз.
3) х-у=1 x+y-1=10
4) х-у=10
x+y-1=1
x=1+y 1+y+y-1=10
2y=10 y=5
х=10+y (10+у)+у-1=1 2y=1+1-10 2y=-8
y=-4
x=1+5=6
(6;5)
x=10+(-4)=6
(6;-4)
Тексеру:
16-4-4+2=10
36-25-6+5=10
Жауабы: x=4; y=2
x=6;y=5
Берілген теңдеуді натурал сандар жиынында шешу керек болғандықтан, осы 2 жауап қана қанағаттандырады.
4есеп. 407х – 2816у=33 теңдеуінің бүтін шешімдерін табу керек. Шешуі.(407,2816)=11 болғандықтан, берілген теңдеу 11-геқысқартқаннан соң 37х-256у=3 теңдеуімен мәндес болады. Алдымен, 37х-256у=1 теңдеуінің бір пар бүтін шешімін анықтау керек. Евклид алгоритімін қолдана отырып ((37,256)= 1), 256=37*6+34, 37=34*1+3, 34=3*11 + 1 теңдігін аламыз. Онда 1=34- 3*11=34 – 11(37 – 34) =256 – 37*6 – 11 (37-256+376)=12 256 – 83 37=(-83)37 – (- 12)256. Осыдан х0=-83, у0=-12 болатындығы шығады. Онда берілген теңдеудің жалпы шешімі х= – 83*3-256t = – 249-256t, у= – 123- -37t. Егер t=-1 деп алсақ, онда x1=7,у1=1 болатындай берілген теңдеудің бір пар шешімін аламыз. Онда салдар бойынша берілген теңдеудің жалпы шешімі
х=7-256t у=1-37t
| формул 2есеп.1 Шешуі. 1-тәсіл. 2-тәсіл. аламыз. | асымен анықталады. 5х+37у=1 теңдеуінің | ||||
| бүтін шешімдерін табу кер | ек. | ||||
| 1 санын 15пен 37 сандары арқылы жіктеу керек: Евклид алгоритімін қолдана отырып, 37= 15*2+
Осыдан 1=15-2*7=15-2(37-152)= 155+(-2)37.0н |
|||||
| 7,15=2*7+1 теңдігін да х=5,у=2. | |||||
Кофта теңдеуі
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
| Кофта 19 теңге | түр ып
– х – у у=1 тер |
ады. Сатып алуш алушы кассирмен | ы да тек 3 теңгеліктер, ал кассирде калай саудаласты? | |||
| тек 5 теңгеліктер. Сат Шешуі: 3-теңгеліктер | ||||||
| 5-теңгеліктер | – деп белгілейміз. 9 бұл аныкталм
мен берген, 5 |
|||||
| Шарт бойынша Зх-5 аркылы 3 теңгелік алатындығын білеміз. Зх-5у =19, мұндағы: х | аған теңдеу. Осы т теңгеліктермен қал | еңдеуді шешу ай қайтарып | ||||
| ,у-бүтін сандар, х-ті у арқылы өрнектейік. | ||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
сонда у=t+t1, t1= , 2t1=t-1, t=2t1+1 енді осы мәнді
1+3t1.>0 3t1.>-1 t1
t=0,1,2,3,4,5,…..,
Осыған сәйкес х-пен у-тің мәндерін табайық. х= 8+5t1=8,13,18,23,….,
y=1+3t1=1,4,7,10,….,
83-5=19.3 теңгеліктерден 8 беріп, бір 5 теңгелікті қайтарып алады немесе 133-45=19
3 теңгеліктерден 13-ін беріп,
5 теңгеліктерден 4-еуін қайтарып алады. Жауабы: х=8,13,,,,,
y=1,4,,,,
Қорытынды
1) Анықталмаған теңдеулердің аныктамасын және Диофант теңдеулері
туралы мағлұмат бере отырып, анықталмаған теңдеулердің шешімін бүтін сандар жиынында және рационал сандар жиынында анықтай білдім.
2) Аныкталмаған теңдеулердің шешімі мектеп бағдарламасында аз камтылған, бірақ олимпиада есептерінде жиі кездеседі, сол олимпиада да 2006-2009 жылғы анықталмаған теңдеулерді шешіп көрсеттім. Менің математика пәніне деген кызығушылығым ах+bу=с теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешу тәсілдерін анықтайтын теоремаларды колдануға одан әрі арта түсті.
3) Келешекте бәсекеге қабілетті жоғары білімді азамат болу үшін, Олимпиада жеңімпазы болу үшін әлі де, математикадан ғылыми жобалар жасап талай жеңіске жететініме сенімдімін.
Келер ұрпақ даналарға ұқсап туса, Диофант, Әль-Фараби жолын қуса. Елімнің болашағы гүлденуде, Ғылымның шам шырағы жанып тұрса.