Тез есептеудің тәсілдері және қажеттілігі, ғылыми жоба

Тақырыбы:      Тез есептеудің тәсілдері және қажеттілігі

Бағыты:   Экономикалық және әлеуметтік процестерді математикалық модельдеу.

Секция:   математика

Аннотация

Зерттеу жұмысында оқушылар өз бойларындағы дарындылықты жүйелі жүзеге асыру жолында өз істерін тиянақты жеткізген.Жобада тез есептеудің негізгі сегіз тәсілі туралы айтылған.Оқушылар ешқандай есептеуіш құралдарын қажет етпей тез есептеу әдістерін үйренген мектеп оқушыларының математикалық  ойлау қабілеттерінің  дамитынын және уақыттары үнемделетінің көрсету мақсатында бақылау жасап,өзіндік зерттеу жұмыстарын жүргізіп,қорытынды шығарған.

В исследовательской работе  рассмотрена и подытожена  методика и необходимость быстрого счета.Учащиеся в целях экономии времени и развития математических способностей учащихся школ попытались разработать  методы быстрого счета без  примения  счетных машин.

In the research reviewed and summarized the methodology and the need of finger-counting.In orden to save time and development of mathematical abilities of pupils of primary school, pupils have tried to develop methods involved rapid account without the use of calculators.

Мазмұны

1. Кіріспе ———————————————————————–
2. Негізгі бөлім

2.1. Арифметиканың пайда болуы  —————————————

2.2. Есептер аспаптары туралы———————————————

3. Зерттеу бөлімі

3.1. Кез-келген санның квадратын шапшаң есептеу әдістері. ——

3.2. 11 санына шапшаң көбейту әдісі. ————————————

3.3. 9-ға көбейту. Саусақ әдісі.———————————————

3.4. Кез-келген санды 5-көбейту әдісі..———————————–

3.5. Кез-келген санды 5-ке бөлу әдісі.————– ———————-

3.6. Кез-келген санды 4-ке көбейту әдісі———————————

3.7. 1000-нан азайту әдісі.—————————————————

3.8. Жұп сандарды 25-ке көбейту.—————————————–

4. Қорытынды.—————————————————————–
5. Ұсыныс———————————————————————–

Мақсаты:

Тез есептеудің кейбір әдістерін зерттей отырып, оның қажеттілігін көрсету.

Міндеттері:

-Тез есептеудің тәсілдері туралы ақпараттар жинақтау;

-Тез есептеудің тәсілдері арқылы уақыттың қалай үнемделетінін анықтау;

-Қысқаша көбейту әдістерін сабақта қолдана білу;

-Уақыт үнемдеуге, ауызша тез есептеуге дағдылану.

Болжам:

Егер,біздер тез есептеудің тәсілдерін пайдалана білуді үйренсек,онда біздің математикалық ойлау қабілеттеріміз дамиды және уақытты тиімді пайдаланамыз.

Зерттеу кезеңдері:

-Тез есептеудің тәсілдері туралы мәліметтер жинақтау;

-Тез есептеудің тәсілдерін пайдалану жолдарының тиімділігін анықтау;

-Тез есептеудің тәсілдерімен және басқа тәсілдер арқылы есептер шығарып, кеткен уақытты есептеу;

-Өзіндік пікір, тұжырым жасау.

Ғылыми жобаның зерттеу әдістері: деректер жинақтау, талдау, бақылау, жүйелеу, практикалық жұмыстар орындау,ой қорыту.

Зерттеу жұмысының жаңалығы: Ешқандай есептеуіш құралдарын қажет етпейтін тез есептеу тәсілдерін меңгерген мектеп оқушыларының математикалық ойлау қабілеттері дамиды, пәнге қызығушылықтары артады және уақыттары үнемделеді.

Ғылыми жұмыстың нәтижесі мен ой қорытындысы: Тез есептеу тәсілдерін меңгерген мектеп оқушыларының математикалық ойлау қабілеттері дамиды, пәнге қызығушылықтары артады және уақыттары үнемделетінін таптық.

Ғылыми жұмыстың практикалық қолдану салалары: Күнделікті сабақта, тұрмыста қолдануға болады.Ол ешқандай есептеуіш құралдарын қажет етпейді

Кіріспе

Математика пәнін оқытуда барлық есептеулер арифметикалық амалдарға байланысты. Арифметикалық  мысалдар мен есептер оқушылардың  ақыл-ой қабілеттерінің  дамуына, ғылым негіздерін дұрыс игеріп,алған білімдерін практикада қолдана білуге әсер етеді.Ауызша есептеу күнделікті жұмыста көп қолданылады,оған дағдылану баланың зейінің арттырады, жазбаша есептеуді жеңілтедетеді.Оқушылар әуелі екі таңбалы сандарды,кейін көп таңбалы сандарды ауызша және қысқаша көбейту әдістері бойынша орындауды меңгерді.

Бүгінгі ғылыми-технологиялық дамуына байланысты  адамзат  баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда.Мысалы,қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана отырып,кез-келген күрделі есептің аз ғана уақыт аралығында табуға болады.Тіпті қарапайым есептеу құралы-калькулятордың  өзі бүгінгідей нарық заманында қарапайым  халық үшін  аса тиімді.Әрине бұның бәрі адамның ойлау қабілеттерінің ең ірі жетістіктері болып табылады. Алайда, қалыптасқан жағдайдың пайдасымен қатар зияны да жоқ емес. Атап айтқанда, бүгінде кез- келген оқушының қарапайым көбейту кестесін біле бермеуі мүмкін. Сол себепті де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады. Сол себепті мен бұл жұмыста логикалық ойлау қабілетін дамытатын, шапшаң есептеудің кейбір әдістерін қарастырдым.

Ендеше , мен секілді математиканың ғылымилығын жаңа бастаған оқушы үшін бұл маңызды тақырып.

Әр баланың мақсаты – өзінің білім деңгейін көтеру, сабаққа деген қызығушылығын арттыру, іздену. Осы мақсатты іске асыру барысындағы міндетім сол тақырыпты игерумен қатар ,кең ауқымды есептерді шешуді зерттеу,ойлау қабілетімді машықтыру. Шапшаң есептеудің әртүрлі әдістеріне мүмкіндігіншіе тоқталдым. Ауызша есептеу дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Осындай жайттарды ескерген әрбір оқушы өз бетінше шапшаң есептеу, ауызша жаттығуларға уақыт бөліп отырғаны жөн. Сондықтан мен өзімнің шығармашылық жобамды жан-жақты ізденіп, теориялық білімімді өмірмен ұштастырып, шапшаң есептеуді жүзеге асыруды әр түрлі есептерді шығару арқылы дәлелдеуге тырыстым.

Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. Қазіргі көптеген мектеп оқушыларына болашақта есептеу техникасы мен автоматтық құралдармен жабдықталған цехтарда, кәсіпорындарда еңбек етуге тура келетіні сөзсіз. Жастарда жаңа техниканы басқару үшін қажетті әзірлік бар ма ? Олай болса, орта мектепті оқып жүргеннің өзінде-ақ оқушылар азды-көпті шығармашыл, іздемпаз болуы шарт. Ғылымның дамуы шығармашылық өнермен тығыз байланысты. Шығармашылық өнер дегеніміз-күтпеген сенсациялық жаңалық ойлап табу ғана емес, сонымен қатар, бұрыннан белгілі жағдайдың бұрын көңіл бөлінбеген қалтарыстарына үңілу.

Негізгі бөлім.

2.1.Арифметикалық пайда болуы туралы.

Математиканың адамның қоғам өміріндегі мәні орасан зор.Санай білмей, сандарды қосуды, азайтуды, көбейтуді, бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамның дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды.Арифметикалық төрт амал,ауызша және жазбаша есептеу ережелері бастауыш класстардан бастап оқытылады.Бұл ережелерді бір адам шығарған немесе ойлап тапқан емес.Арифметика күнделікті практика талаптарына,адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік мұқтаждықтарынан  туған.Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыған.Сонау ерте замандардың өзінде-ақ адамдарға  өздерінің  күнделікті өмірінде кездесіп отыратын әртүрлі нәрселерді  санап отыруға тура келген.Сонда адамның тек екіге дейін санай білетін шағы болған.Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен, жалпы алғанда нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған.Үнділердің «көп», тибектіктердің «қанат» деген сөздері екі санын білдірген.Егер нәрселер саны екіден көп болса,алғашқы қауым адамы олар туралы тек «көп» дейтін.Адам бірте-бірте ғана үшке дейін, одан беске,онға дейін т.с.с. санап үйренген.

Өндірістің және сауданың  дамуымен  байланысты  санау тәсілі басқа жиындарға,элементтер саны барған сайын көбейе берген жиындарға қолданылады.Өзінің  практикалық  іс-әрекетінде адамға қашықтықтарды, жер танаптарының аудандарын,ыдыстардың  сыйымдылығын  және басқа да шамаларды өлшеуге тура келеді.Өлшей білу қажеттігі өлшеу тәсілдерінің, сондай-ақ санау техникасы мен сандарға амалдар қолдану ережелерінің пайда болуына және дамуына себептер болды.

Сонымен арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену әрекеттерімен, қоғамның дамуымен байланысты.

Біз қолданатын осылайша санау тәсілі,яғни он-оннан топтап санау ондық санау системасы немесе ондық санау нумерациясы деп аталады.

Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты,адамдар да қоғам дамуының алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланған.Қазірдің өзінде «саусақпен санағандай» дейміз ғой.Осыдан барып ондық санау системасы шыққан.

Алайда кейбір жерлердегі, атап айтқанда Африкадағы тайпалар мен халықтар санағанда бір қолының бес саусағын ғана пайдаланған,олар бес-бестен санаған:оларда негізгі бес саны болатын бестік санау системасы қалыптасқан.Бұл системада алғашқы бес санның ғана атаулары бар.Мысалы, алты санын «бес-бір» деп атаған т.с.с.

Ең көне санау системасы-екілік санау системасы,ғалымдардың  болжауы  бойынша  бұл системаны бір кездері мысырлықтар пайдаланған.Ежелгі вавилондықтар алпыстық санау системасы пайдаланған.Ондық санау системасында   999 миллионға дейінгі барлық натурал сандарды атау үшін небәрі 13 сөз ғана қолданалады: бір, екі, үш, төрт, бес, алты, жеті, сегіз, тоғыз, он, жүз, мың, миллион.

2.2. Есептеу аспаптары туралы.

Адамдар ерте кездің өзінде-ақ есептеу жұмысын  жеңілдету мақсатымен әртүрлі құралдар мен аспаптарды пайдаланған.Алғашқы,ең ежелгі «есептеу машинасы» адам қолдарының саусақтары мен аяқтарының башпайлары болған. Сол арқылы адам едәуір  үлкен сандарды есептеуді үйренген. Саусақтарын түрліше бүге отырып, адам тек бірліктер мен ондықтарды ғана емес, тіпті жүздіктер мен мыңдықтарды кескіндеп көрсете білген. Адам  миллионға дейін сандарды осылайша қолдарымен меңзеп кескіндей білген.  Саусақпен есептеу немесе дактилономия- адам саусағының бүгуімен орындалатын математикалық есеп.  Қол саусағы ежелгі адам дәуірінің палеолита заманынан бері бірінші есептеу құралы болып саналады. Саусақтарды  бүгіп санау  ерте заманда кең  қолданылып келді.Адамның  саусақтары  мен  олардың  буындары,сондай-ақ саусақтарын  бүгу  және  жазу, қолдарын  бүгу мен  жазу  олардың ондаған  және  жүздеген  мыңға  дейін санай алуына  ғана емес,сол сияқты  кейбір  арифметикалық  амалдарды орындауына да  мүмкіндік берді Орта ғасырдағы арифметикада саусақтармен санауға байланысты,римдік автор Боэцийден (480-524) бастап,сандар «саусақтарға»(бірліктерге), «буындарға»(ондықтарға)және «құрама сандарға» (басқа қалған сандарға) бөлінетін еді.Бұл сияқты атаулар Л.Ф.Магницкийдің «Арифметикасында» да кездеседі: «саусақтар», «буындар» және «құрамалар».Француздар осы уақытқа дейін бірліктерді «саусақтар» деп атаған.  Саусақпен санау орта ғасырда  да практикалық  өмірде  кең  тараған болатын. [1]

«Уақытпен  санау хақында» кітап жазған Ирландия  ғалымы монах Беда Достопочтенный (673-735)саусақпен  санауға  бүтін  бір  тарауды арнаған.

Ежелгі  заманда саудагерлер (финикиялық, вавилондық, т.б.саудагерлері) есеп-қисаптарын жүргізгенде астық дәндерін, ұсақ тастарды, бақалшақтарды пайдаланған, сонда оларды кейінірікте құм деп аталған арнаулы тақта бетіне жайып салып есептейтін.Құмды гректер мен римдіктер одан әрі жетілдіре түсіп,ол қазіргі өзіміздің есепшотымыз тәрізді есептеу тақтасына, есептеу аспабына айналған.Ең көне есептеу аспаптарының бірі-қытайдың «суан-пан» деп аталатын есепшоты, ол Қытайда қазір де қолданылады. Басқа бір ескі есептеу аспабы-жапон «соробаны» .

Зерттеу бөлімі 

3.1. Кез-келген санның квадратын шапшаң есептеу әдістері. 

Көбейту, бөлу таблицасын білгеннен кейін сандарды көбейтудің, бөлудің, дәрежелеудің оң тәсілдерін үйрену мақсат.

Әдетте 10, 20, 30, 40, 50, … …, 100 оңай есептеледі. Ал 19², 29², 39², 49², … …, 99² – ын табу бір жаңа есептеуді қажет етеді. Сол әдістерге тоқталайық.

19² = 361 шығару үшін 9 х 19 көбейтіндісінің 20² – нан 20+19=39 – ды шегеру жеткілікті 400-39=361

Ал 18², 28², 38², 48², … … 17², 27², 37², есептеп табу үшін

Енді 15², 25², 35², 45², … …, 95² есептейік.

15²=225 – ті шығару үшін бірлік 5²=25 – тың алдына ондық 1-ге, өзінен бір сан үлкен 2-ні көбейтіп алдына жазу керек

Сонымен, кез-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарын оңай және ұтымды түрде табуға болады екен. Логикалық есептер, ұлттық мазмұнды есептер шығару қисынды ойлаудың негізін қалауға көп көмектеседі.
Іс жүзінде осы тәсілді игерген, қисынды ойлауы мықты дамыған әрбір оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз-ақ кез-келген санның квадратын еш қиналмай табатыны сөзсіз. 

3.2. 11 санына шапшаң көбейту әдісі. 

Есептеуді тездетудің өзгеше бір әдісі – санды 11-ге көбейту әдісімен танысайық. Мысалы, 26-ны 11-ге көбейту керек болсын. Oл үшін әуелі 26 санын құрайтын 2

және 6 цифрларын қосып, 2 шыққан қосындыны 2 және 6 цифрларының арасына

«сыналап» енгізіп жазамыз, сонда 286 саны пайда болады.

Cанды құрайтын цифрлардың қосындысы екі таңбалы сан болуы да мүмкін, алғашқы цифры 1 болмақ. Осы 1-ді санның ондық орында жазылған цифрына қосу керек те, цифрлардың арасына қосындының бірлік орындағы цифрын «сыналап» енгізу шарт. Мысалы, 75-ті 11-ге көбейткен кезде 75 санын құрайтын цифрларды қосып, (7+5=12) пайда болған нәтиженің алдыңғы цифрын 7-ге қосамыз. Сонда 85 саны, ал 2 цифрын жаңадан пайда болған 85 санының  8 бен 5 цифрларының арасына «сыналап» ендіріп жазсақ, 825 саны пайда болады.

11-ге лезде көбейту тәсілін мына теңдеуден аңғаруыңызға болады:

(10a+b)11=110a+11b=100a+10b(a+b)+b. 

3.3. 9-ға көбейту. Саусақ әдісі.

1-ден 9-ға дейінгі кез-келген санды 9-ға көбейту үшін саусақпен жылдам есептеу әдісі- «саусақ» әдісін қолданайық.. Бұл тәсіл ең тиімді әрі қарапайым саналады. Мәселен, 9×7 болсын. Бұл қарапайым көбейтудің нәтижесі 63 екені баршаға аян. Енді осы нәтижені саусақпен көбейту арқылы тексерсек. Алдымен қолыңыздың саусақтарын 7-ші саусаққа дейін санап, сосын 7-ші саусақты бүгіңіз. Енді бүгілгенге дейінгі саусақтардың санына, кейін бүгілгеннен кейінгі саусақтардың санына назар аударыңыз. Сонда бүгілген саусаққа дейінгі саусақтар саны шығатын мәннің ондық үлесіне тең болса, бүгілгеннен кейінгі саусақтар саны шығатын мәннің бірлігіне тең болады, яғни, 9×7꞊63 болады.

Енді тағы бір мысал келтірейік: 9×10 болсын. Сонда бүгілген саусаққа дейінгі сандар 9-ды берсе, ал бүгілгеннен кейінгі саусақта бірлік саны жоқ. Бұндай жағдайда шығатын санның бірлік цифры 0-ге тең деп ұйғарылады. Міне, осылайша 1-ден 10-ға дейінгі сандардың нәтижесін оңай есептеуге болады.

Ескерту: бұл тәсіл тек 1-ден 10-ға дейігі сандар үшін ғана орындалады. 

3.4. Кез-келген санды 5-көбейту әдісі.

Адамдардың көпшілігі 5-тің көбейту кестесін жақсы біледі, бірақ 5-ті үлкен сандармен көбейтуге келгенде қиналып қалатынымыз рас. Бұл тәсіл таңқаларлықтай қарапайым тәсіл. Кез-келген сан алып, оны 2-ге бөліңіз.егер нәтижесінде бүтін сан шықса, соңына 0-ді тіркеп жазса жеткілікті. Егер бүтін сан шықпаса, үтірге назар аудармай жазу керек.

Мысалы:

2682х5=13410

2682:2=1341  (бүтін сан, сондықтан 0-ді тіркейміз)

Тағы бір мысал:

5887х5=29435

5887:2=2943,5   (бөлшек сан үтірге назар аудармаймыз) 

3.5. Кез-келген санды 5-ке бөлу әдісі.

шын мәнінде кез-келген санды 5-ке бөлу қиын емес. Бар болғаны берілген санды бірінші 2-ге көбейтіп, соңынан бір санға үтір жылжытамыз:

195:5=39

1-ші қадам: 195*2=390

2-ші қадам: соңғы саннан үтір айырамыз 39,0

2978:5=595,6

1-ші қадам: 2978*2=5956

2-ші қадам: 595,6

 3.6. Кез-келген санды 4-ке көбейту әдісі.

Бұл өте қарапайым тәсіл. Ол үшін берілген санды әуелі 2-ге, соннан соң

Сол санды тағы 2-ге көбейтеміз:

58х4=(58х2)+(58х2)=(116)+(116)=2326. 

3.7.  1000-нан азайту әдісі.

Санды 1000-нан азайту үшін бірінші санды 9-дан, екінші санды тағы 9-дан , үшінші санды 10-нан азайтамыз.

Мысалы: 1000-648=352

1-ші қадам: 9-дан 6-ны азайтамыз: 9-6=3

2-ші қадам: 9-дан 4-ті азайтамыз: 9-4=5

3-ші қадам: 10-нан 8-ді азайтамыз: 10-8=2

Жауабы: 352 

3.8. Жұп сандарды 25-ке көбейту.

Жұп сандарды 25-ке көбейту үшін сол жұп санды 4-ке бөліп, 100-ге көбейтсе болады.

Мысалы: 956х25=23900

1-ші қадам: 956:4=239

2-ші қадам: 239х100=23900

Жауабы: 23900

Қорытынды.

Қазіргі   ғылым мен техникада, күнделікті ісімізге компьютерді , калькуляторды пайдаланып жүрген кезде тез есептеу әдістерін қолдану қажет пе деген заңды сұрақ тууы мүмкін.

Дегенмен де жұмысты жеңілдетуді мақсат етіп,ойлау қабілетімізге тежеу қойып отырғанымызды ойладық па?

Тез есептеулер әдісі қоғам өміріндегі мәні орасан зор.Санай білмей,сандарды қосуды,азайтуды,көбейтуді,бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып,сондай-ақ сандардың қасиеттерін және де тез есептеу әдістерін пайдалана алмайтын адамның ақыл-ойы мен адам қоғамының дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды.Егер қолыңызда есептеуіш техника,кесте болмай қалса осындай есептеу тәсілдері сізге көмекке келетіні сөзсіз.Сондықтан да бүгінгі осы жобамызда келтірілген тез есептеу әдістері адам өміріне қажетті және маңызды деп санаймыз.

Осы көрсетілген тез есептеу тәсілдерін сабақта қолдану мектеп оқушыларының математика пәніне қызығушылықтарын арттыруға көп септігін тигізеді.Бұл әдістерді оқушылар жиі қолданып отырса,ауызша есептеу тәсілін жақсы меңгеріп,өз бетінше білімін толықтыруға дағдыланады,қажетті тәсілді таңдай білуге үйренеді,күрделі есептерді тез шешуге  ынталанады.Іс жүзінде осы тәсілдерді меңгерген,қисынды ойлауы мықты дамыған әрбір оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз-ақ кез-келген санды тез есептеулер тәсілі арқылы еш қиналмай табатыны сөзсіз.

Ойлау – шығармашылық, ойлау – еңбек. Бұны іске асырудың бір жолы қызықтыратын тапсырмалар таңдай білу. Ойлау барысында біздің  дербес жұмыс істеу мүмкіндігіміз, көңіл қоя білу қабілетіміз дамыды. Математиканың сан алуан сырын, сандар әлемінің қызық құбылысын, ойлау элементтерімен өрнектеген зертеу жұмысы қызықты, әрі ұтымды. Зерттеу барысында жүргізілетін жұмыстар қарапайымнан басталып, біртіндеп қиындап, танымдық қызметін белсендіруге назар аударылады. Зерттеу жұмыстарын жүргізу барысы біздің зор ынтамызды тудырды, білгенімізді тереңдетіп, жаңа іс-қимылға жетеледі.

Ұсыныс:

Егер мектеп оқушылары тез есептеудің тәсілдерін меңгеретін болса, олардың логикалық ойлау қабілеттері дамиды, уақыттары үнемделеді. Олай болса,  ғылыми жобамызды  мектеп оқушылары  керегіне қолданады деп ойлаймыз.