Секция: Математика
Ғылыми жобаның тақырыбы: «Функция қасиеттерінің ерекшелігі»
«Функция қасиеттерінің ерекшелігі» тақырыбындағы ғылыми жобаға аннотация
Бұл ғылыми жоба арқылы «Функцияның ерекше қасиетін» олимпиадалық есептерді шығаруда қолдана отырып, оның қажеттілігін көрсете білу. Сонымен бірге бұл жоба оқушылардың математикаға деген дарынын арттырады, ашады.
«Feature of function properties»
Abstract on the research project
This is a scientific project to show the need to use the «Distinctive feature of Function» in the preparation of Olympic reports. At the same time, this project enhances students’ math skills.
Мазмұны
- I. Кіріспе
«Функция және оның қасиеттерінің» ерекшелігіне түсініктеме беру.
- Негізгі бөлім
- «Функция қасиеттерінің» ерекшелігін көрсететін тұжырымдаманы дәлелдеу, шығару жолдарын көрсете білу.
- «Функция қасиеттерінің» ерекшелігін олимпиадалық есептерді шығару арқылы көрсету.
III. Қорытынды
«Функция қасиеттерінің ерекшелігі» тақырыбындағы жұмысына пікір
Оқушы бұл ғылыми жоба арқылы функция және оның қасиеттерінің ерекшеліктерін аша білген. Функцияның қасиеттерін қолдана отырып, оларға амалдар қолдана білген. Кейбір олимпиадалық есептерді шығару барысында функцияның қасиеттеріне, оларға амалдар қолдануына ерекше түсініктемелер бере білген. Ғылыми жоба оқушылардың функция ұғымына деген қызығушылығын арттырады деп ойлаймын.
«Функция қасиеттерінің ерекшелігі» тақырыбындағы ғылыми жобаның
Мақсаты: Функция қасиетінің ерекшелігін қарастырып, зерттеу.
Міндеттері:
а) Функция қасиеттерінің ерекшелігін көрсететін тұжырымдаманы дәлелдей білу.
ә) Функция қасиетінің ерекшелігін қолданып, олимпиадалық есептерді шығару.
б) 1997-1998 жылғы олимпиада есебінің шығару жолын көрсету.
Гипотеза: Оқушының математикаға деген қызығушылығын, дарынын арттыру.
Күтілетін нәтиже: Функция қасиетін біле отырып, олимпиаданың тақырыбын меңгерту.
Кіріспе
Функция ұғымы – математикадағы негізгі ұғымдардың бірі. Сондықтан бұл ұғымның қалыптасуы қазіргі сатыға жету үшін бірнеше жылдар қажет болған. Атақты ғалымдар өз дәуірлерінде нақтылы жағдайдағы функциялық тәуелділіктің түріне байланысты функция ұғымын түрліше анықтаған.
Күнделікті өмір функциялық материалдарға өте бай. Тұрмыста бір нәрселерді сату немесе бір нәрселерді сатып алу, үй тұрмысында көрсетілген коммуналдық қызметтің ақысын төлеу – осының барлығында функциялық тәуелділік бар.
Мектеп бағдарламасында функцияның көптеген қасиеттерімен танысып, үйренеміз. Функцияның анықталу облысы мен мәндер жиыны, функцияның графигі, берілу тәсілдері, функцияның графигін қарапайым түрлендіру, жұп, тақ, периодты екендігімен және олардың графиктерінің қасиеттерімен таныспыз.
Мен осы жобам арқылы функцияның қасиетінің ерекшелігін қолдана отырып, амалдар қолдануды көрсеткім келеді. Ол көбіне олимпиадалық есептерде кездеседі. Нақты айтқанда,
1) f функциясы R нақты сандар жиынында анықталып, және қасиеті берілсе, онда f функциясын формуламен беру;
2) f функциясы бүтін сандар жиынында анықталған және қасиеті берілсе, онда f(-x) және f(x) функцияларының арасындағы қатысты табу;
3) f функциясы R нақты сандар жиынында анықталып, ерекше қасиеті бар болса, функцияның монотындылығын анықтау. Сонымен осы жоба арқылы «Функцияның ерекше қасиетін» қолдана отырып, осы тұжырымдамаларды дәлелдеп көрсетемін.
1974-1975 жылғы олимпиада есебі
кесіндісінде берілген және функциялары үшін:
(1)
мына (1) түрдегі функция табылатын болса, мұндағы n – кез келген натурал сан, ал көбейтінді (мұндағы ) немесе тең болып, мына теңдік орындалуы мүмкін екендігін дәлелдеңдер.
Шешуі: Бұл есепті шешу үшін мына теореманы қолданамыз.
Теорема: Кез келген рационал сан , (0;1) интервалында жататын болса, мұндағы m – тақ сан, ал n– екінің дәрежесі, онда -ге тең болады, мұндағы f – қандай да бір функцияның түрі.
(1)
Дәлелдеуі. 1) Математикалық индукция әдісі бойынша санын алайық. Анықтама бойынша сандары үшін теңсіздігі орындалады. Егер болса, онда , , бұдан . Бұдан шығатыны .
2) Егер болса, онда және натурал сандары табылып, – тақ сан, – екі санының дәрежесі. және , ендеше (1) түрдегі функциясы табылады. .
3) Егер болса, онда және мұндағы саны екі санының дәрежесі. және сандары десек, индукция әдісі бойынша, онда мынандай қорытынды шығаруға болады. функциясы (1)-ші түрде жазуға болады, мұндағы . Бұдан шығатыны функциясы мынаған
тең.
Шындығында да, .
4) Егер жатса, онда . Бірақ , сонымен саны тақ сан, ал – екі санының дәрежесі. Сонымен қатар , олай болса . Мынаны қолдана отырып, және индукция әдісі бойынша (1) түрдегі функциясы табылып, теңдігі орындалады. , бұдан соң , ендеше функциясын түрінде қарастыруға болады. Сонымен математикалық индукция әдісі бойынша жоғарыдағы тұжырымдама кез келген рационал сан орындалатындығына көз жеткіземіз, мұндағы – тақ сан, ал -екі санының дәрежесі. Олай болса осы тұжырымдамадағы мағлұматтарға сүйене отырып саны үшін теңдігін алуға болады (мұндағы )
№1. функциясы жиынында анықталған және мынадай қасиеті бар: кез келген үшін (1) теңдігі тура. функциясын формуламен беріңдер.
Шешуі: (1) теңбе-теңдігіндегі айнымалысын -мен алмастырамыз.
Шығатыны (2)
(1)-інші теңбе-теңдіктің екі жағын да -3-ке көбейтіп және жаңадан шыққан тепе-теңдікті (2)-нші тепе-теңдікке қосамыз. Шығатыны
Жауабы:
№2. функциясы бүтін сандар жиынында анықталған және мынадай қасиеті бар: кез келген оң және үшін теңдігі тура.
1) неге тең?
2) және функцияларының арасында қандай қатыс бар?
3) Егер болса, онда екендігін дәлелдеңдер.
Шешуі:1) десек, онда
, олай болса .
2) деп, деп белгілесек, онда
, , ендеше
3)
nрет nрет
Сонымен кез келген үшін болатыны тура.
Жауабы: 1) тең.
2) .
3) екендігі дәлелденді.
№3. функциясы нақты сандар жиынында анықталған және мынадай қасиеті бар: кез келген үшін теңсіздігі тура. функциясы монотонды бола ала ма?
Шешуі:
Графигі 1-суретте берілген функция монотонды болмайтынын және АВ кесіндісінің ұзындығы 1-ден кем болса, онда есептің шартын қанағаттандыратынын оңай ұғуға болады. формуласымен берілген функция осындай функцияның мысалы бола алады. Бұл функция монотонды емес, дегенмен кез келген үшін теңсіздігі орындалады.
1
-3 -2 -1 1 2 3
-1
үшмүшелігінің дискриминанты 0-ден кем. . Сондықтан қандай сан болса да, үшмүшеліктің мәні оң болады. Олай болса, кез келген үшін
№4. функциясы нақты сандар жиынында анықталған және мынадай қасиеті бар: кез келген үшін (1) теңдігі тура, функциясын формуламен беріңдер.
Шешуі: (1) теңбе-теңдіктегі -тің орнына -ті қойсақ, мынадай теңбе-теңдікті аламыз:
(2)
(1)-інші теңбе-теңдіктің екі жағын да өрнегіне көбейтеміз. Мынадай теңбе-теңдік шығады:
(3)
(2)-нші және (3)-інші теңбе-теңдіктерді мүшелеп қоссақ, шығатыны:
Бұдан – ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз:
, – ортақ көбейткіш.
Сонымен .
Жауабы:
№5. Бүтін сандар жиынын функциясы жиынына бейнелейді. функциясының мынандай қасиеті бар екені белгілі: кез келген бүтін және үшін теңдігі тура.
1) неге тең?
2) және функцияларының арасында қандай қатыс бар?
3) Егер болса, онда а) ; ә) ; б) болатынын дәлелдеңдер.
Шешуі:1) болсын, сонда , , бұдан немесе . Бірақ бұл функция нольге тең мән қабылдай алмайды. Олай болса .
2) , болсын, сонда , . Бұдан және функциялары бір ғана таңбалы мән қабылдай алатындығы, яғни егер болса, онда немесе егер болса, онда болатындығы шығады. Олай болса, . ( функциясы жұп)
3) а) ; . Олай болса, . Сонда функциясы қабылдайтын екі мәннің (-1 мен 1) біреуі ғана бұл шартты қанағаттандырады: . Осылайша, , , яғни .
ә) . Егер де -ге тең болса, онда бұл жағдайда жиыны жиынына емес, жиынына бейнеленген болар еді. Олай болса, .
б) , ал болғандықтан,
Жауабы: 1) тең.
2) .
3) а) ; ә) ; б) болатындығы дәлелденді.
Қорытынды
«Математика – ұлы ғылым, ол – адам ақыл-ойының игілікті қабілетінің ғажайып жемісі» – деп айтқан А. Н. Писаревтің пікіріне қосылып, математика ұлы ғылым екендігіне әрқашан да көз жеткіземін.
Ендеше математикалық заңдылықтарды зерттеуге, өмірмен байланысты екендігіне көз жеткізе отырып, математика ғылымына өз үлесімді қоссам деймін.
Функция қасиетінің ерекшелігін қолданып, функцияның формуласын қорытып шығару есептері олимпиадалық есептерде жиі кездеседі. Мектеп бағдарламасындағы «Функция және оның қасиеттері туралы мағлұмат, әрине, толық қамтылады, бірақ жиынында берілген функцияның ерекше қасиетін қолданып, функциясын таба білуге, яғни функцияға амалдар қолдану жиі кездесе бермейді.
Осы ғылыми жобамда бірнеше есептерді шығару арқылы, тұжырымдаманы дәлелдеу арқылы функция қасиетінінң ерекшелігін көрсете білдім деп ойлаймын.